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Luca Lombardo
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# La categoria hTop
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* [ ] [definizione] Omotopia
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* [ ] [**proposizione**] Omotopia è relazione di equivalenza
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* [ ] [**proposizione**] Composizione passa alla relazione di omotopia
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* [ ] [definizione] Inversa omotopica e Equivalenza omotopica
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* [ ] [**proposizione**] Equivalenza omotopica è una equivalenza
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## Funtore delle componenti connesse per archi
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* [ ] [**teorema**] Mappe omotope inducono la stessa mappa nei $\pi_0$
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# Gruppo fondamentale
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## Omotopia di cammini
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* [ ] [definizione] Omotopia di cammini
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## Gruppo Fondamentale
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* [ ] [definizione] Gruppo Fondamentale
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* [ ] [**teorema**] Il gruppo fondamentale è un gruppo
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* [ ] [definizione] Semplicemente connesso
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## Cammini chiusi come applicazioni dal cerchio
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* [ ] [**proposizione**] Continua su bordo si estende se e solo se classe di omotopia banale
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* [ ] [**teorema**] Propriet\`a della corrispondenza tra $\pi_1(X)$ e $\spa{S^1,X}$
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* [ ] [**proposizione**] Corrispondenza tra omotopie di cammini in $\Omega(X,x_0)$ e omotopie libere in ${[S^1,X]}$
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## Funtorialità del gruppo fondamentale
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* [ ] [definizione] Categoria degli spazi topologici puntati
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* [ ] [**proposizione**] Funtore da $Top_\ast$ a $Grp$
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* [ ] [definizione] Omotopia puntata
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* [ ] [**proposizione**] Mappe omotope puntate inducono la stessa mappa sui gruppi fondamentali
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## Dipendenze del gruppo fondamentale
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* [ ] [**teorema**] Il punto base determina $\pi_1(X)$ a meno di isomorfismo
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* [ ] [**proposizione**] Mappa omotopa all'identità induce isomorfismo
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# Spazi contraibili e retratti
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## Spazi contraibili
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* [ ] [definizione] Spazio contraibile
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* [ ] [definizione] Insieme stellato
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* [ ] [definizione] Insieme Convesso
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* [ ] [**proposizione**] Mappe a immagine in stellato
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## Retratti di Deformazione
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* [ ] [definizione] Retratto
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* [ ] [**proposizione**] Proprietà dei retratti
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* [ ] [definizione] Retratto di deformazione
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# Rivestimenti
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## Omeomorfismi locali
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* [ ] [definizione] Omeomorfismo Locale
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* [ ] [**proposizione**] Omeomorfismo locale implica aperta
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## Rivestimenti
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* [ ] [definizione] Rivestimento
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* [ ] [**proposizione**] Rivestimento implica Omeomorfismo locale
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* [ ] [definizione] Fibra
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* [ ] [**teorema**] Teorema delle Fibre
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* [ ] [definizione] Grado di un rivestimento
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* [ ] [definizione] Rivestimento banale
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* [ ] [**teorema**] Rivestimento da azione propriamente discontinua
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## Sollevamenti
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* [ ] [definizione] Sollevamento
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* [ ] [**teorema**] Unicità del sollevamento
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* [ ] [**teorema**] Esistenza e unicità del sollevamento dei cammini
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* [ ] [**teorema**] Sollevamento dell'omotopia
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* [ ] [**teorema**] Sollevamento delle omotopie di cammini
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# Azione di Monodromia
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* [ ] [definizione] Azione di monodromia
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* [ ] [**teorema**] Proprietà dell'azione di monodromia
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### Sollevamento di mappe qualsiasi
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* [ ] [**teorema**] Sollevamento di mappe qualsiasi
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## Applicazioni dell'azione di Monodromia
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* [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale del cerchio
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* [ ] [**teorema**] Teorema di Brower
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# Teorema di Seifert-Van Kampen
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* [ ] [**teorema**] Seifert-Van Kampen
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# Calcolo del Gruppo fondamentale
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## Gruppo fondamentale del prodotto
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* [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale del prodotto
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## Prodotto libero e gruppi liberi
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* [ ] [definizione] Prodotto libero
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* [ ] [**teorema**] Esistenza del prodotto libero
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* [ ] [definizione] Gruppo libero
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* [ ] [**teorema**] Propriet\`a universale del gruppo libero
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## Van Kampen per intersezioni semplicemente connesse
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* [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale del Bouquet di $n$ circonferenze
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## Prodotto amalgamato
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* [ ] [definizione] Prodotto amalgamato
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* [ ] [**teorema**] Esistenza e unicit\`a del prodotto amalgamato
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## Presentazioni di gruppi
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* [ ] [definizione] Presentazione
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* [ ] [**proposizione**] Propriet\`a universale delle presentazioni
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* [ ] [**proposizione**] Presentazione del prodotto amalgamato
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## Rango
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* [ ] [definizione] Rango
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## Gruppi fondamentali di proiettivi
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* [ ] [**teorema**] I proiettivi complessi sono semplicemente connessi
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* [ ] [**teorema**] Gruppi fondamentali dei proiettivi reali
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## Gruppi fondamentali di superfici
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### Toro
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* [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale del toro
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### Superfici con dato genere
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* [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale delle superfici di genere $g$
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* [ ] [**proposizione**] Genere determina univocamente il $\pi_1$
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* [ ] [**teorema**] Genere, classe di Omotopia e $\pi_1$ sono invarianti completi
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# Rivestimento Universale
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* [ ] [definizione] Rivestimento universale
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* [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale e fibra nel punto sono in bigezione
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* [ ] [definizione] Semilocalmente semplicemente connesso
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* [ ] [**teorema**] Esistenza dei rivestimenti universali
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## Propriet\`a categoriche dei rivestimenti
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* [ ] [**proposizione**] Propriet\`a universale del rivestimento universale
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* [ ] [definizione] Morfismo di rivestimenti
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* [ ] [definizione] Automorfismi di rivestimenti
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* [ ] [**proposizione**] Azione di $\Aut(p)$ e di monodromia commutano
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### Isomorfismi di rivestimenti
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* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione di rivestimenti isomorfi fissato un punto
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* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione di rivestimenti isomorfi
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## Rivestimenti regolari e corrispondenza di Galois
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* [ ] [**proposizione**] Azione di $\Aut(p)$ \`e propriamente discontinua
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* [ ] [**teorema**] Per rivestimento da azione propriamente discontinua gli automorfismi sono il gruppo
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* [ ] [definizione] Rivestimento regolare
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* [ ] [**proposizione**] I rivestimenti universali sono regolari
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* [ ] [**teorema**] Caratterizzazioni dei rivestimenti regolari
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* [ ] [**teorema**] $\Aut(p)$ in termini del gruppo fondamentale
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* [ ] [**proposizione**] Automorfismi di rivestimenti regolari
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## Applicazioni della teoria dei rivestimenti
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* [ ] [**teorema**] Borsuk-Ulam
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# Richiami di calcolo in pi\`u variabili
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* [ ] [definizione] Differenziabilit\`a e differenziale
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* [ ] [definizione] Derivate parziali
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* [ ] [definizione] Coniugio
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* [ ] [**proposizione**] Il differenziale \`e $\C$-lineare
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* [ ] [**proposizione**] Propriet\`a del differenziale
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* [ ] [**proposizione**] Le $\R$ lineari sono la somma diretta delle $\C$ lineari e $\C$ antilineari
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# Funzioni olomorfe
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* [ ] [definizione] Funzione olomorfa
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* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazioni delle funzioni olomorfe
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* [ ] [**teorema**] Propriet\`a aritmetiche delle olomorfe
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# Analitiche
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## Serie di potenze
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* [ ] [definizione] Serie di potenze
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* [ ] [definizione] Funzione analitica
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* [ ] [**proposizione**] Le analitiche sono continue
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* [ ] [**teorema**] Serie di potenze sono analitiche
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* [ ] [**teorema**] Serie derivata
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## Ordine di annullamento
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* [ ] [definizione] Ordine di annullamento
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* [ ] [**teorema**] Zeri di analitica sono isolati o coprono la comp. connessa
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# Esponenziale e logaritmo complessi
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## Esponenziale complesso
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* [ ] [definizione] Esponenziale complesso
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* [ ] [**proposizione**] Propriet\`a dell'esponenziale complesso
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## Logaritmo complesso
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* [ ] [**proposizione**] L'esponenziale complesso \`e un rivestimento
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* [ ] [**teorema**] Branche del logaritmo
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* [ ] [definizione] Branca principale del logaritmo complesso
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* [ ] [**proposizione**] Formula esplicita per la branca principale del logaritmo
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* [ ] [**proposizione**] Le branche del logaritmo sono olomorfe
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* [ ] [**teorema**] Espansione in serie del logaritmo
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# 1-Forme complesse
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* [ ] [definizione] 1-forma continua
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* [ ] [definizione] Forme esatte e chiuse
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## Integrazione di 1-forme
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* [ ] [definizione] Integrale di funzione da intervallo reale a $\C$
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* [ ] [definizione] Integrale lungo una curva $C^1$
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* [ ] [definizione] Curva $C^1$ a tratti
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* [ ] [**proposizione**] Invarianza dell'integrale per riparametrizzazione
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* [ ] [**proposizione**] Integrazione di 1-forme esatte
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* [ ] [definizione] Dominio
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* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione esattezza con integrali su lacci
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## Primitive lungo curve e lungo omotopie
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* [ ] [definizione] Primitiva lungo una curva
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* [ ] [**teorema**] Esistenza e quasi unicit\`a delle primitive lungo curve
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* [ ] [definizione] Primitiva lungo una omotopia
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* [ ] [**teorema**] Esistenza e quasi unicit\`a delle primitive lungo omotopie
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* [ ] [definizione] Integrale di 1-forme chiuse su cammini continui
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* [ ] [**teorema**] Invarianza dell'integrale per cammini omotopi
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## Forme chiuse da funzioni olomorfe
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* [ ] [**teorema**] Gauss-Green
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* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione delle forme chiuse $C^1$ con derivate parziali
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* [ ] [**teorema**] Cauchy
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* [ ] [**teorema**] Continua olomorfa fuori un segmento d\`a forma chiusa
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# Indice di avvolgimento e Formula di Cauchy
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* [ ] [definizione] Indice di avvolgimento
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* [ ] [**proposizione**] Indice di avvolgimento \`e intero
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* [ ] [**teorema**] Formula integrale di Cauchy
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## Olomorfa implica analitica
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* [ ] [**teorema**] Continue sul bordo di un disco definiscono olomorfa nel disco
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### Propriet\`a delle olomorfe ereditate delle analitiche
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* [ ] [**proposizione**] Principio di identit\`a
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# Applicazioni
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## Disuguaglianze di Cauchy e Teorema di Liouville
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* [ ] [**proposizione**] Disuguaglianze di Cauchy
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## Principio della media
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* [ ] [definizione] Propriet\`a della media
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* [ ] [**proposizione**] Propriet\`a della media implica continua
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* [ ] [**teorema**] Principio della media
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## Principio del massimo
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* [ ] [**teorema**] Principio del massimo 1
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* [ ] [**teorema**] Teorema dell'applicazione aperta
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# Singolarit\`a
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* [ ] [definizione] Singolarit\`a
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* [ ] [definizione] Corona
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## Serie di Laurent
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* [ ] [definizione] Serie di Laurent
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* [ ] [**proposizione**] propriet\`a delle serie di Laurent
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* [ ] [**teorema**] Olomorfa su Anello \`e serie di Laurent
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## Tipi di singolarit\`a
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* [ ] [definizione] Tipi di singolarit\`a
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* [ ] [**teorema**] Estensione di Riemann
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* [ ] [**teorema**] Casorati-Weierstass
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# Funzioni meromorfe e Residui
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* [ ] [definizione] Funzione meromorfa
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* [ ] [definizione] Residuo
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* [ ] [**proposizione**] Formula del residuo per rapporto di olomorfe
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* [ ] [**teorema**] Teorema dei Residui
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## Derivata Logaritmica
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* [ ] [definizione] Derivata logaritmica
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* [ ] [**proposizione**] Residuo in polo della derivata logaritmica \`e l'ordine del polo/zero
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* [ ] [**teorema**] Teorema di Derivata logaritmica
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# Spazi proiettivi e nozioni introduttive
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## Spazio proiettivo
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* [ ] [definizione] Spazio Proiettivo
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* [ ] [definizione] Dimensione di uno spazio proiettivo
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* [ ] [definizione] Punti, Rette e piani proiettivi
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* [ ] [definizione] Spazio proiettivo standard
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## Trasformazioni Proiettive
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* [ ] [definizione] Trasformazione proiettiva
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* [ ] [definizione] Isomorfismo proiettivo
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* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione degli isomorfismi proiettivi
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* [ ] [definizione] Proiettivit\`a
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## Sottospazi proiettivi
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* [ ] [definizione] Grassmanniana (NON DATA DURANTE IL CORSO)
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* [ ] [definizione] Sottospazio proiettivo
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* [ ] [definizione] Iperpiano proiettivo
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* [ ] [**proposizione**] Corrispondenza tra sottospazi proiettivi e vettoriali
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* [ ] [**proposizione**] Sottospazi proiettivi sono stabili per intersezione
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* [ ] [definizione] Sottospazio proiettivo generato
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* [ ] [**proposizione**] Traduzione tra somme di proiettivi e vettoriali
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* [ ] [**proposizione**] Trasformazioni proiettive rispettano i generati
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* [ ] [**teorema**] Formula di Grassmann proiettiva
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## Riferimenti proiettivi
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* [ ] [definizione] Punti indipendenti
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* [ ] [definizione] Posizione generale
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* [ ] [definizione] Riferimento proiettivo
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* [ ] [definizione] Base normalizzata
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* [ ] [**teorema**] Esistenza e unicit\`a della base normalizzata
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* [ ] [**teorema**] Trasformazioni proiettive sono univocamente determinate dal valore su un riferimento
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* [ ] [**teorema**] Teorema fondamentale delle trasformazioni proiettive
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## Coordinate omogenee
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* [ ] [definizione] Riferimento proiettivo canonico
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* [ ] [definizione] Coordinate omogenee
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* [ ] [definizione] Matrice associata a isomorfismo proiettivo
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* [ ] [definizione] Equazioni cartesiane proiettive
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# Spazi proiettivi estendono gli spazi affini
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## Carte affini
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* [ ] [definizione] Iperpiano coordinato
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* [ ] [definizione] Carta affine
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* [ ] [**proposizione**] Le carte affini sono ``isomorfe" all'affine
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* [ ] [definizione] Carta affine
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* [ ] [definizione] Punti propri e impropri
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* [ ] [**proposizione**] Parte affine
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* [ ] [**proposizione**] Chiusura proiettiva
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* [ ] [definizione] Polinomio omogeneo
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* [ ] [definizione] Punti all'infinito di sottospazi vettoriali
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* [ ] [**proposizione**] Rette si incontrano all'infinito se e solo se sono parallele
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# Approfondimento sulle proiettivit\`a
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## Prospettivit\`a
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* [ ] [definizione] Prospettivit\`a
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* [ ] [**proposizione**] Le prospettivit\`a sono ben definite e sono trasformazioni proiettive
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* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione delle prospettivit\`a
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## Corrispondenza tra Affinit\`a e Proiettivit\`a
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* [ ] [**proposizione**] Affinit\`a come proiettivit\`a
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## Trasformazioni lineari fratte
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* [ ] [definizione] Infinito
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* [ ] [definizione] Trasformazione lineare fratta
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# Dualit\`a
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* [ ] [definizione] Spazio proiettivo duale
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* [ ] [definizione] Riferimento duale
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* [ ] [definizione] Corrispondenza di dualit\`a
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* [ ] [**teorema**] Principio di dualit\`a
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* [ ] [definizione] Sistema lineare di iperpiani
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* [ ] [definizione] Fascio di iperpiani
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* [ ] [definizione] Proiettivit\`a duale
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# Birapporto
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* [ ] [definizione] Birapporto
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* [ ] [**proposizione**] Calcolo del birapporto
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* [ ] [**proposizione**] Proiettivit\`a conservano birapporto
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* [ ] [**proposizione**] Criterio del birapporto per l'esistenza di proiettivit\`a
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* [ ] [definizione] Modulo/j-invariante
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# Coniche proiettive
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* [ ] [definizione] Conica proiettiva
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## Equivalenza proiettiva e Classificazione delle coniche
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* [ ] [definizione] Immagine di una conica tramite una proiettivit\`a
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* [ ] [definizione] Equivalenza proiettiva
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* [ ] [**teorema**] Classificazione delle coniche proiettive complesse
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* [ ] [**teorema**] Classificazione delle coniche proiettive reali
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## Parte affine e chiusura proiettiva
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* [ ] [definizione] Parte affine
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* [ ] [definizione] Chiusura proiettiva
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* [ ] [definizione] Punti all'infinito di una conica
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* [ ] [**proposizione**] Coniche per 5 punti
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## Tangenti
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### Intersezioni con rette e riducibilit\`a
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* [ ] [definizione] Componenti e riducibilit\`a
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* [ ] [**proposizione**] Numero di intersezioni tra coniche e rette
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* [ ] [**proposizione**] Non degenere se e solo se irriducible
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### Tangenti
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* [ ] [definizione] Retta tangente
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* [ ] [**proposizione**] Equazione della tangente
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* [ ] [definizione] Tangenti a conica degenere
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## Polarit\`a
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* [ ] [definizione] Retta polare
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* [ ] [definizione] Conica duale
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## Punti reali e punti complessi
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* [ ] [definizione] Complessificazione
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## Sistemi lineari di coniche
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* [ ] [definizione] Sistema lineare di coniche
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* [ ] [definizione] Punto base
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