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# DOMANDE ORALI MECCANICA RAZIONALE
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## Moti centrali
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**Teoria:**
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- [x] Definizione campo di forze centrale
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- [x] Integrabilità dei moti centrali
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- [ ] Legge delle aree
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- [ ] Formula di Binet
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- [ ] Traiettoria del Moto (angolo di avanzamento)
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- [x] Problema dei due corpi
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- [x] Problema diretto di keplero
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- [x] Problema inverso di keplero
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**Domande:**
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- [ ] Moti centrali: fare la storia del potenziale efficace, mostrare che sono integrabili, quando un’orbita è periodica?
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- [ ] Studio qualitativo del ritratto di fase del problema di Keplero
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## Sistemi di riferimento in moto relativo
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**Teoria:**
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- [x] Formule di Poisson
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- [ ] Velocità angolare (teorema di esistenza ed unicità)
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- [x] Derivata temporale di un vettore in un sistema di riferimento diverso
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- [x] Equazioni del moto in riferimenti diversi
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**Domande:**
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- [x] Potenziale generalizzato della forza di Coriolis
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- [x] Velocità angolare di un corpo rigido ed esercizio sul calcolo di una velocità angolare (guida rotola senza strisciare e disco r.s.s. Sulla guida)
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- [x] Velocità angolare di un disco che rotola senza strisciare
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## Dinamica dei sistemi di N punti materiali
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**Teoria:**
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- [x] Baricentro
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- [x] Teorema di König, versione per sistemi di N punti
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- [x] Forze interne e forze esterne
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- [x] Risultante e Momento Risultante delle forze interne sono nulli
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- [x] Sistemi equivalenti di vettori applicati
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- [x] Definizione di sistema di vettori equilibrato, equivalenti e operazioni elementari
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- [x] Teorema dell'asse centrale
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**Domande:**
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- [ ] Dimostrare che, se un sistema ha trinomio invariante è nullo e la risultante è non nulla, allora è equivalente al sistema composto dalla sola risultante applicata ad un punto dell’asse centrale
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- [ ] Trinomio invariante, esempio: asse centrale per forze di gravità
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- [ ] Asse centrale: esistenza ed unicità e ultima riduzione (quella del trinomio invariante)
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- [ ] Dare un esempio in cui il trinomio invariante è nullo (moto piano)
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## Il corpo rigido
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**Teoria:**
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- [ ] Angoli di Eulero
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- [x] Formula fondamentale della cinematica del corpo rigido
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- [ ] Velocità angolare e angoli di Eulero
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- [x] Asse istantaneo di rotazione
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- [ ] Campo delle velocità di un corpo rigido
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- [ ] Teorema di Chasles
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- [x] Operatore di inerzia e prime proprietà
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- [x] Scomposizione dell'operatore di inerzia
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- [x] Teorema di Huygens-Steiner
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- [x] Momenti principali di inerzia e direzioni principali di inerzia
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**Domande:**
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- [ ] Asse istantaneo di rotazione per un disco che rotola senza strisciare
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- [ ] Huygens-Steiner: un esempio di applicazione
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- [ ] Basi principali di un sistema di 8 punti disposti ai vertici di un cubo
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## Sistemi vincolati
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**Teoria:**
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- [ ] Studio del moto vincolato: base di Frenet
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- [ ] Varietà e spazi tangenti
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- [ ] Fibrato Tangente
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- [x] Varietà delle configurazioni e gradi di liberta del sistema
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- [x] Velocità lagrangiane e velocità virtuali
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- [x] Vicoli olonomi e analonomi
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**Domande:**
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- [ ] Discorsi generali sui vincoli, esempio di vincolo olonomo
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- [ ] In presenza di vincoli olonomi cosa si può dire dell energia cinetica
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- [ ] Vincoli ideali
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- [ ] Dimostrare che il vincolo di rigidità di un corpo rigido è un vincolo olonomo e ideale
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## Le equazioni cardinali della dinamica
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**Teoria:**
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- [x] Equazioni Cardinali
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- [x] Equazioni di Eulero
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- [x] Moti di Eulero-Poinsot
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- [x] Caso simmetria sferica ($I_1 = I_2 = I_3$)
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- [x] Caso simmetria giroscopica ($I_1 = I_2 \neq I_3$)
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- [ ] Caso generico ($I_1 > I_2 > I_3$)
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- [x] Definizione di equilibrio stabile ed instabile
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**Domande:**
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- [ ] Come interpreti la definizione di equilibri stabili per gli equilibri stabili della lagrangiana?
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- [ ] Scrivere le equazioni del moto di una bicicletta (con una coppia di forze applicata sulla ruota posteriore) che rotola senza strisciare lungo Ox e calcolarne le componenti tangenziali delle reazioni vincolari sui punti contatto.
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- [ ] Dire qualitativamente quale equazione e quale polo è conveniente usare per calcolare le componenti tangenziali delle reazioni vincolari nel caso in cui la stessa bicicletta sia vincolata ad una guida circolare e spiegare perché
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- [ ] Trovare gli equilibri di un sistema di 3 corpi soggetti all interazione gravitazionale (che si risolve con il teorema di Eulero sulle omogene enunciato)
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- [ ] Coni di Poinsot. Cosa cambia se c'è la gravità? (trottola di lagrange)
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## Equazioni di Lagrange
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**Teoria:**
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- [x] Vincoli ideali e principio di D’Alembert
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- [x] Equivalenza tra equazioni di Lagrange di prima specie ed eq. di D’Alembert (prop. 60)
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- [x] Sistemi Lagrangiani (definizione)
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- [x] Forze conservative e Lagrangiana
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- [x] Energia potenziale generalizzata
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- [ ] Energia potenziale generalizzata delle forze apparenti
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**Domande:**
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- [x] Forze generalizzate nel caso dell’asta ruotante, calcolarle.
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- [ ] lagrangiana per il problema dei tre corpi in un riferimento rotante, perché è utile in questo riferimento
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- [ ] Dire quali sono le forze in gioco di un’ asta appesa all’origine di un piano $Oxy$ (con gravità) che ruota in modo uniforme intorno all’asse $y$, e dare un’idea di calcolo dell’energia potenziale di tali forze
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## Simmetrie ed integrali primi
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**Teoria:**
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- [x] Variabili Cicliche e Momento Coniugato
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- [x] Integrale di Jacobi è un integrale primo
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- [x] Riduzione di Routh
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- [ ] Trottola di Lagrange
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- [x] Teorema di Noether
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**Domande**
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- [ ] Se passando al sistema ridotto trovo una soluzione stazionaria, posso concludere che ho una soluzione stazionaria del sistema di partenza? (No, l’esempio è il moto circolare che ha $\rho$ costa- [ ] Campo delle velocità di un corpo rigido
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nte)
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- [ ] Lagrangiana ridotta. Che cosa puoi dire sulla stabilitá/instabilità del sistema di partenza se trovi un equilibrio stabile/instabile per la Lagrangiana di Routh?
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- [ ] Teorema di Noether: premesse, enunciato, dimostrazione, applicazione nel caso con una variabile ciclica (ritrovare che il momento coniugato si conserva), applicazione nel caso dei moti centrali (invarianza per rotazione, ritrovare che il momento angolare si conserva)
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## Equilibri e stabilità
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**Teoria:**
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- [x] Definizione di configurazioni di equilibrio (prima pagina cap. 12)
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- [x] Linearizzazione attorno ad un equilibrio
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- [x] Funzione di Lyapunov
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- [x] Lyapounov (enunciato del teorema)
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- [x] Teorema di Lagrange-Dirichlet
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- [x] Analisi della stabilità
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- [x] Piccole oscillazioni
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**Domande:**
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- [ ] Instabilità della seconda rotazione stazionaria tramite la linearizzazione (pseudo-esercizio)
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- [ ] Modi normali di oscillazione cosa sono e scrivere il sistema linearizzato a cui ci si riduce per studiare la stabilità
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