wip

server/testgame/TestGame/Levels/Logic/L05_Apply.lean

@@ -29,5 +29,9 @@ Statement
   apply g
   assumption
 
+Message (A : Prop) (B : Prop) (hA : A) (g : A → B) : A =>
+"Nachdem du die Implikation `A → B` angewendet hast, musst du nur noch `A` zeigen,
+dafür hast du bereits einen Beweis in den Annahmen."
+
 Tactics apply
 Tactics assumption

server/testgame/TestGame/Levels/Logic/L05b_Apply.lean

@@ -0,0 +1,43 @@
+import TestGame.Metadata
+
+Game "TestGame"
+World "TestWorld"
+Level 7
+
+Title "Implikation"
+
+Introduction
+"
+Angenommen man hat folgende Implikationen und weiss dass Aussage `A` wahr ist.
+```
+A → B ← C
+    ↓   ↓
+D → E → F
+```
+Beweise Aussage `F`.
+"
+
+Statement
+    "
+    Seien `A`, `B` logische Aussagen, wobei `A` wahr ist und `A` impliziert `B`.
+    Zeige, dass `B` wahr ist.
+    "
+    (A B C D E F : Prop) (hA : A) (f : A → B) (g : C → B) (h : B → E)
+     (i : D → E) (k : E → F) (m : C → F) : F := by
+  apply k
+  apply h
+  apply f
+  assumption
+
+Message  (A : Prop) (B : Prop) (C : Prop) (D : Prop) (E : Prop) (F : Prop)
+    (hA : A) (f : A → B) (g : C → B) (h : B → E)
+    (i : D → E) (k : E → F) (m : C → F) : C =>
+"Sackgasse. Probier doch einen anderen Weg."
+
+Message  (A : Prop) (B : Prop) (C : Prop) (D : Prop) (E : Prop) (F : Prop)
+    (hA : A) (f : A → B) (g : C → B) (h : B → E)
+    (i : D → E) (k : E → F) (m : C → F) : D =>
+"Sackgasse. Probier doch einen anderen Weg."
+
+Tactics apply
+Tactics assumption

server/testgame/TestGame/Levels/Logic/L05c_Apply.lean

@@ -0,0 +1,24 @@
+import TestGame.Metadata
+
+Game "TestGame"
+World "TestWorld"
+Level 8
+
+Title "Implikation"
+
+Introduction
+"
+Wenn das Goal von der Form `A → B` ist, kann man mit `intro` annehmen, dass `A` wahr ist
+und das Goal wird zu `B`.
+"
+
+Statement
+    (A B C: Prop) (f : A → B) (g : B → C) : A → C := by
+  intro hA
+  apply g
+  apply f
+  assumption
+
+Tactics intro
+Tactics apply
+Tactics assumption

server/testgame/TestGame/Levels/Logic/L06_Iff.lean

@@ -0,0 +1,30 @@
+import TestGame.Metadata
+
+Game "TestGame"
+World "TestWorld"
+Level 9
+
+Title "Genau dann wenn"
+
+Introduction
+"
+Genau-dann-wenn `A ↔ B` (`\\iff`) besteht aus zwei Implikationen `A → B` und `B → A`.
+
+Als erstes kann man mit `rw` Annahmen der Form `(h : A ↔ B)` genau gleich wie Gleichungen
+`(h : a = b)` benützen, um das Goal umzuschreiben.
+
+Hier also nochmals die Gleiche Aufgabe, aber diesmal mit Iff-Statements von Aussagen anstatt
+Gleichungen von natürlichen Zahlen.
+"
+
+Statement
+    "
+    Zeige dass `B ↔ C`.
+    "
+    (A B C D : Prop) (h₁ : C ↔ D) (h₂ : A ↔ B) (h₃ : A ↔ D) : B ↔ C := by
+  rw [h₁]
+  rw [←h₂]
+  assumption
+
+Tactics rw
+Tactics assumption

server/testgame/TestGame/Levels/Logic/L06b_Iff.lean

@@ -0,0 +1,39 @@
+import TestGame.Metadata
+
+Game "TestGame"
+World "TestWorld"
+Level 10
+
+Title "Genau dann wenn"
+
+Introduction
+"
+Als nächstes will man oft ein Iff-Statement `A ↔ B` wie zwei einzelne Implikationen
+`A → B` und `B → A` behandeln.
+
+Wenn das Goal `A ↔ B` ist, kann man mit der `constructor` Taktik, dieses in die Einzelteile
+`A → B` und `B → A` zerlegen.
+
+"
+
+Statement
+    "
+    Zeige dass `B ↔ C`.
+    "
+    (A B : Prop) (mp : A → B) (mpr : B → A) : A ↔ B := by
+  constructor
+  assumption
+  assumption
+
+
+Conclusion
+"
+Die Taktik `constructor` heisst so, weil `↔` als \"Struktur\" definiert ist, die
+aus mehreren Einzelteilen besteht: `⟨A → B, B → A⟩`. Man sagt also Lean, es soll versuchen,
+ob das Goal aus solchen Einzelteilen \"konstruiert\" werden kann.
+"
+
+Tactics constructor
+Tactics assumption
+
+-- TODO : `case mpr =>` ist mathematisch noch sinnvoll.

server/testgame/TestGame/Levels/Logic/L06c_Iff.lean

@@ -0,0 +1,42 @@
+import TestGame.Metadata
+import Std.Tactic.RCases
+
+Game "TestGame"
+World "TestWorld"
+Level 11
+
+Title "Genau dann wenn"
+
+Introduction
+"
+Umgekehrt, wenn man eine Annahme `(h : A ↔ B)` hat, kann man auf verschiedene
+Arten die Einzelteile `A → B` und `B → A` extrahieren.
+
+- mit `rcases h` oder `rcases h with ⟨h₁, h₂⟩` teilt man die Annahme `h` auf. (Im zweiten Fall gibt
+man explizit an, wie die neuen Annahmen heissen sollen, die Klammern sind `\\<` und `\\>`).
+
+"
+Statement
+    (A B : Prop) : (A ↔ B) → (A → B) := by
+  intro h
+  cases h
+  case intro x y =>
+  assumption
+
+Message (A : Prop) (B : Prop) : (A ↔ B) → A → B =>
+"Angefangen mit `intro h` kannst du annehmen, dass `(h : A ↔ B)` wahr ist."
+
+Conclusion
+"
+Anstatt
+```
+intro h
+rcases h with ⟨h₁, h₂⟩
+```
+kann man direkt `intro ⟨h₁, h₂⟩` schreiben.
+Wie du schon gesehen hast, sind diese Klammern `⟨⟩` Lean's Syntax für eine Struktur aus
+mehreren Teilen.
+
+"
+
+Tactics intro apply rcases assumption

server/testgame/TestGame/Levels/Logic/L06d_Iff.lean

@@ -0,0 +1,33 @@
+import TestGame.Metadata
+
+Game "TestGame"
+World "TestWorld"
+Level 12
+
+Title "Genau dann wenn"
+
+Introduction
+"
+Man kann auch die einzelnen Richtungen benützen, ohne `h` selber zu verändern:
+
+- `h.1` und `h.2` sind direkt die einzelnen Richtungen. Man kann also z.B. mit `apply h.1` die
+Implikation `A → B` auf ein Goal `B` anwenden.
+- `h.mp` und `h.mpr` sind die bevorzugten Namen anstatt `.1` und `.2`. \"mp\" kommt von
+\"Modus Ponens\", aber das ist hier irrelevant.
+"
+
+Statement
+    "
+    Benütze nur `apply` und `assumption` um das gleiche Resultat zu zeigen.
+    "
+    (A B C : Prop) (h : A ↔ B) (g : B → C) : A → C := by
+  intro hA
+  apply g
+  apply h.mp
+  assumption
+
+Message (A : Prop) (B : Prop) (C : Prop) (h : A ↔ B) (g : B → C) (hA : A) : B =>
+"Mit `apply h.mp` kannst du nun die Implikation `A → B` anwenden."
+
+Tactics apply
+Tactics assumption

server/testgame/TestGame/Levels/Logic/L07_And.lean

@@ -0,0 +1,69 @@
+import TestGame.Metadata
+import Std.Tactic.RCases
+
+Game "TestGame"
+World "TestWorld"
+Level 13
+
+Title "Und"
+
+Introduction
+"
+Das logische UND `A ∧ B` (`\\and`) funktioniert sehr ähnlich zum Iff (`↔`).
+Grund dafür ist, dass `A ∧ B` auch eine Struktur aus zwei Teilen `⟨A, B⟩` ist.
+
+Man can also genau gleich `constructor` und `rcases` anwenden, ebenso kann man
+`.1` und `.2` für die Einzelteile brauchen, diese heissen lediglich
+`h.left` und `h.right` anstatt `.mp` und `.mpr`.
+"
+
+Statement
+    (A B : Prop) : (A ∧ (A → B)) ↔ (A ∧ B) := by
+  constructor
+  intro h
+  rcases h with ⟨h₁, h₂⟩
+  constructor
+  assumption
+  apply h₂
+  assumption
+  intro h
+  rcases h with ⟨h₁, h₂⟩
+  constructor
+  assumption
+  intro
+  assumption
+
+Message (A : Prop) (B : Prop) : A ∧ (A → B) ↔ A ∧ B =>
+"`↔` oder `∧` im Goal kann man mit `constructor` aufteilen."
+
+-- if they don't use `intro ⟨_, _⟩`.
+Message (A : Prop) (B : Prop) (h : A ∧ (A → B)) : A ∧ B =>
+"Jetzt erst mal noch schnell die Annahme `A ∧ (A → B)` mit `rcases` aufteilen."
+
+-- if they don't use `intro ⟨_, _⟩`.
+Message (A : Prop) (B : Prop) (h : A ∧ B) : A ∧ (A → B) =>
+"Jetzt erst mal noch schnell die Annahme `A ∧ B` mit `rcases` aufteilen."
+
+Message (A : Prop) (B : Prop) (hA : A) (h : A → B) : A ∧ B =>
+"Wieder in Einzelteile aufteilen..."
+
+Message (A : Prop) (B : Prop) : A ∧ (A → B) =>
+"Immer das gleiche ... noch mehr aufteilen."
+
+Message (A : Prop) (B : Prop) (h₁: A) (h₂: B) : A → B =>
+"Das ist jetzt vielleicht etwas verwirrend: Wir wollen die Implikation `A → B` zeigen,
+wissen aber, dass `B` immer wahr ist (habe eine Annahme der Form `(hB : B)`).
+
+Mit intro können wir einfach nochmal annehmen, dass `A` wahr ist. Es stört uns nicht,
+dass wir das schon wissen und auch gar nicht brauchen. Damit müssen wir nur noch zeigen,
+dass `B` wahr ist."
+
+Hint (A : Prop) (B : Prop) (hA : A) (h : A → B) : B =>
+"Sieht nach einem Fall für `apply` aus."
+
+
+-- TODO
+
+
+Tactics apply rcases
+Tactics assumption

server/testgame/TestGame/Levels/Logic/L08_Or.lean

@@ -0,0 +1,55 @@
+import TestGame.Metadata
+import Mathlib
+
+Game "TestGame"
+World "TestWorld"
+Level 14
+
+Title "Oder"
+
+Introduction
+"
+Das logische ODER `A ∨ B` (`\\or`) funktioniert
+"
+
+Statement
+    (A B C : Prop) (h : (A ∨ B) ∨ C) : B ∨ (C ∨ A) := by
+  cases h
+
+
+
+
+Message (A : Prop) (B : Prop) : A ∧ (A → B) ↔ A ∧ B =>
+"`↔` oder `∧` im Goal kann man mit `constructor` aufteilen."
+
+-- if they don't use `intro ⟨_, _⟩`.
+Message (A : Prop) (B : Prop) (h : A ∧ (A → B)) : A ∧ B =>
+"Jetzt erst mal noch schnell die Annahme `A ∧ (A → B)` mit `rcases` aufteilen."
+
+-- if they don't use `intro ⟨_, _⟩`.
+Message (A : Prop) (B : Prop) (h : A ∧ B) : A ∧ (A → B) =>
+"Jetzt erst mal noch schnell die Annahme `A ∧ B` mit `rcases` aufteilen."
+
+Message (A : Prop) (B : Prop) (hA : A) (h : A → B) : A ∧ B =>
+"Wieder in Einzelteile aufteilen..."
+
+Message (A : Prop) (B : Prop) : A ∧ (A → B) =>
+"Immer das gleiche ... noch mehr aufteilen."
+
+Message (A : Prop) (B : Prop) (h₁: A) (h₂: B) : A → B =>
+"Das ist jetzt vielleicht etwas verwirrend: Wir wollen die Implikation `A → B` zeigen,
+wissen aber, dass `B` immer wahr ist (habe eine Annahme der Form `(hB : B)`).
+
+Mit intro können wir einfach nochmal annehmen, dass `A` wahr ist. Es stört uns nicht,
+dass wir das schon wissen und auch gar nicht brauchen. Damit müssen wir nur noch zeigen,
+dass `B` wahr ist."
+
+Hint (A : Prop) (B : Prop) (hA : A) (h : A → B) : B =>
+"Sieht nach einem Fall für `apply` aus."
+
+
+-- TODO
+
+
+Tactics apply rcases
+Tactics assumption

server/testgame/TestGame/TacticDocs.lean

@@ -89,7 +89,19 @@ TacticDoc apply
 TODO
 "
 
+TacticDoc constructor
+"
+## Beschreibung
+
+TODO
+"
 
+TacticDoc rcases
+"
+## Beschreibung
+
+TODO
+"