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Aritmetica/10. Teoremi rilevanti sui campi finiti.tex

@@ -35,7 +35,7 @@
     Sia $f(x)$ un irriducibile di grado $n$ su $\FFpp[x]$ e sia $\alpha$
     una sua radice in $\FFpn$. Allora $f(\Frobexp^k(\alpha))=0$, $\forall k \geq 0$
     \footnote{$\Frob$ è l'omomorfismo di Frobenius, definito come $\Frob : \FFpp \to \FFpp$,
-    $a \mapsto a^p$.}.
+        $a \mapsto a^p$.}.
 \end{lemma}
 
 \begin{proof} Sia $f(x) = a_n x^n + \ldots + a_0$ a coefficienti in $\FFpp$.
@@ -44,18 +44,18 @@
     \ (\textit{passo base})\; $f(\Frobexp^0(\alpha))=f(\alpha)=0$. \\
 
     \ (\textit{passo induttivo})\; Per l'ipotesi induttiva, $f(\Frobexp^{k-1}(\alpha))=0$.
-        Allora, si verifica algebricamente che:
+    Allora, si verifica algebricamente che:
 
-        \begin{multline*}
-            f(\Frobexp^k(\alpha)) = a_n (\Frobexp^k(\alpha))^n + \ldots + a_0 =
-            \Frob(a_n) \Frob((\Frobexp^{k-1}(\alpha))^n) + \ldots + \Frob(a_0) = \\
-            \Frob(f(\Frobexp^{k-1}(\alpha))) = \Frob(0) = 0,
-        \end{multline*}
+    \begin{multline*}
+        f(\Frobexp^k(\alpha)) = a_n (\Frobexp^k(\alpha))^n + \ldots + a_0 =
+        \Frob(a_n) \Frob((\Frobexp^{k-1}(\alpha))^n) + \ldots + \Frob(a_0) = \\
+        \Frob(f(\Frobexp^{k-1}(\alpha))) = \Frob(0) = 0,
+    \end{multline*}
 
-        \vskip 0.1in
+    \vskip 0.1in
 
-        dove si è usato che $\Frob(a_i) = a_i$, $\forall 0 \leq i \leq n$, dacché
-        ogni elemento di $\FFpp$ è radice di $x^p-x$.
+    dove si è usato che $\Frob(a_i) = a_i$, $\forall 0 \leq i \leq n$, dacché
+    ogni elemento di $\FFpp$ è radice di $x^p-x$.
 
 \end{proof}
 
@@ -129,24 +129,24 @@
     Si dimostrano le due implicazioni separatamente. \\
 
     \ ($\implies$)\; Dal momento che $\FFpm \subseteq \FFpn$,
-        si ricava la seguente catena di estensioni:
+    si ricava la seguente catena di estensioni:
 
-        \[ \FFpp \subseteq \FFpm \subseteq \FFpn, \]
+    \[ \FFpp \subseteq \FFpm \subseteq \FFpn, \]
 
-        \vskip 0.1in
+    \vskip 0.1in
 
-        dalla quale, applicando il \textit{Teorema delle Torri Algebriche},
-        si desume la seguente equazione:
+    dalla quale, applicando il \textit{Teorema delle Torri Algebriche},
+    si desume la seguente equazione:
 
-        \[ \underbrace{[\FFpn : \FFpp]}_n = [\FFpn : \FFpm] \underbrace{[\FFpm : \FFpp]}_d, \]
+    \[ \underbrace{[\FFpn : \FFpp]}_n = [\FFpn : \FFpm] \underbrace{[\FFpm : \FFpp]}_d, \]
 
-        e quindi che $m$ divide $n$. \\
+    e quindi che $m$ divide $n$. \\
 
     \ ($\,\Longleftarrow\,\,$)\; Sia $m \mid n$. Si consideri $\alpha \in \FFpm$. $\alpha$
-        è sicuramente radice di $x^{p^m}-x$, e poiché $m$ divide $n$, è
-        anche radice di $x^{p^n}-x$, per il \lemref{lem:alpha_radice}. Allora
-        $\alpha$ appartiene al campo di spezzamento di $x^{p^n}-x$ su $\FFpp$,
-        ossia $\FFpn$. Pertanto $\FFpm \subseteq \FFpn$. \\
+    è sicuramente radice di $x^{p^m}-x$, e poiché $m$ divide $n$, è
+    anche radice di $x^{p^n}-x$, per il \lemref{lem:alpha_radice}. Allora
+    $\alpha$ appartiene al campo di spezzamento di $x^{p^n}-x$ su $\FFpp$,
+    ossia $\FFpn$. Pertanto $\FFpm \subseteq \FFpn$. \\
 \end{proof}
 
 \begin{corollary}
@@ -183,21 +183,21 @@
     due implicazioni separatamente. \\
 
     \ ($\implies$)\; Sia $f(x)$ un polinomio irriducibile in $\FFpp$ di grado $d$, con
-        $d \mid n$. Si consideri allora il campo $\FFpd \cong \FFpp/(f(x))$, e
-        sia $\alpha$ una radice di $f(x)$ in tale campo. \\
+    $d \mid n$. Si consideri allora il campo $\FFpd \cong \FFpp/(f(x))$, e
+    sia $\alpha$ una radice di $f(x)$ in tale campo. \\
 
-        Per il \lemref{lem:alpha_radice} si verifica che $\alpha$ è anche una radice
-        di $x^{p^n}-x$. Poiché $f(x)$ è irriducibile, esso è il polinomio minimo
-        di $\alpha$, e quindi si deduce che $f(x)$ divide $x^{p^n}-x$. \\
+    Per il \lemref{lem:alpha_radice} si verifica che $\alpha$ è anche una radice
+    di $x^{p^n}-x$. Poiché $f(x)$ è irriducibile, esso è il polinomio minimo
+    di $\alpha$, e quindi si deduce che $f(x)$ divide $x^{p^n}-x$. \\
 
     \ ($\,\Longleftarrow\,\,$)\; Sia $f(x)$ un polinomio irriducibile in $\FFpp$ di grado
-        $d$ che divide $x^{p^n}-x$. Si consideri allora il campo $\FFpd \cong \FFpp/(f(x))$,
-        e sia $\alpha$ una radice di $f(x)$ in tale campo. Allora $\FFpd \cong
+    $d$ che divide $x^{p^n}-x$. Si consideri allora il campo $\FFpd \cong \FFpp/(f(x))$,
+    e sia $\alpha$ una radice di $f(x)$ in tale campo. Allora $\FFpd \cong
         \FFpp(\alpha)$, dacché $f(x)$, in quanto irriducibile, è il polinomio minimo
-        di $\alpha$. \\
+    di $\alpha$. \\
 
-        Dacché $f(x)$ divide $x^{p^n}-x$, $\alpha$ è anche una radice
-        di $x^{p^n}-x$, e quindi che $\alpha \in \FFpn$. Dal momento che chiaramente
-        anche $\FFpp \subseteq \FFpn$, si deduce che $\FFpd \cong \FFpp(\alpha) \subseteq
+    Dacché $f(x)$ divide $x^{p^n}-x$, $\alpha$ è anche una radice
+    di $x^{p^n}-x$, e quindi che $\alpha \in \FFpn$. Dal momento che chiaramente
+    anche $\FFpp \subseteq \FFpn$, si deduce che $\FFpd \cong \FFpp(\alpha) \subseteq
         \FFpn$. Allora, per il \thref{th:inclusione}, $d$ divide $n$.
 \end{proof}