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Algebra lineare/1. Primo capitolo.tex

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-\chapter{Primo capitolo}
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Algebra lineare/algebra_lineare.tex

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-\author{Gabriel Antonio Videtta}
-\title{Appunti di Algebra lineare}
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Analisi I/1. Primo capitolo.tex

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Analisi I/analisi_i.tex

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-\title{Appunti di Analisi I}
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Fisica/1. I moti principali della meccanica newtoniana.tex

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-\chapter{I moti principali della meccanica newtoniana}
-
-\section{Il moto uniformemente accelerato (m.u.a.)}
-
-Conoscendo le definizioni di accelerazione ($\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}$)
-e di velocità ($\vec{v} = \frac{d\vec{x}}{dt}$) è possibile, ponendo l'accelerazione
-costante (i.e. il \textit{jerk} è nullo, $\frac{d\vec{a}}{dt} = 0$), ricavare numerose formule.
-
-\subsection{Le equazioni del moto in un sistema di riferimento unidimensionale}
-
-Le equazioni del moto sono le seguenti:
-
-\begin{equation}
-    \begin{dcases}
-        x(t)=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2 \\
-        v(t)=v_0+at
-    \end{dcases}
-    \label{eq:mua}
-\end{equation}
-
-\begin{proof}
-    Da $a=\frac{dv}{dt}$, si ricava $dv=a\cdot dt$, da cui:
-
-    \begin{equation*}
-        \int dv=\int a\, dt = a \int dt \Rightarrow v=v_0+at
-    \end{equation*}
-
-    Dimostrata questa prima equazione, è possibile dimostrare in modo analogo l'altra:
-
-    \begin{equation*}
-        \int dx=\int v\cdot dt = \int v_0\, dt + \int at\, dt = x_0+v_0t+\frac12at^2
-    \end{equation*}
-
-    La dimostrazione può essere inoltre resa immediata se si sviluppano $x(t)$ e
-    $v(t)$ come serie di Taylor-Maclaurin.
-
-\end{proof}
-
-\subsection{Lo spostamento in funzione della velocità e dell'accelerazione}
-
-Senza ricorrere alla variabile di tempo $t$, è possibile
-esprimere lo spostamento in funzione della velocità e dell'accelerazione
-mediante le seguente formula:
-
-\begin{equation}
-    x-x_0=\frac{v^2-v_0^2}{2a}
-\end{equation}
-
-\begin{proof}
-
-    Considerando $a=\frac{dv}{dt}$, è possibile riscrivere, mediante l'impiego
-    delle formule di derivazione delle funzioni composte, quest'ultima formula:
-
-    \begin{equation*}
-        a=\frac{dv}{dt}=\frac{dx}{dt}\frac{dv}{dx}=v\,\frac{dv}{dx}
-    \end{equation*}
-
-    Da ciò si può ricavare infine l'ultima formula:
-
-    \begin{equation*}
-        a\,dx=v\,dv \Rightarrow a \int dx = \int v \, dv
-    \end{equation*}
-
-    E quindi:
-
-    \begin{equation*}
-        a(x-x_0)=\frac{v^2-v_0^2}{2} \Rightarrow x-x_0=\frac{v^2-v_0^2}{2a}
-    \end{equation*}
-
-\end{proof}
-
-\section{Il moto dei proiettili}
-
-Il \textit{moto dei proiettili}, o moto parabolico, non
-è altro che la forma vettoriale del m.u.a. sfruttando due accelerazioni per
-entrambe le dimensioni: una nulla (quella dello spostamento parallelo al
-terreno) ed una pari a $-g$ (quella data dalla gravità nello spostamento
-normale al terreno).
-
-\subsection{Le equazioni del moto dei proiettili}
-
-Riprendendo le precedenti considerazioni, si può dunque scrivere
-l'equazione del moto in forma vettoriale:
-
-\begin{equation}
-    \begin{pmatrix}
-        x \\
-        y
-    \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-        x_0 \\
-        y_0
-    \end{pmatrix} + \vec{v_0} t + \frac12 \vec{a} t^2
-\end{equation}
-
-O nel casso del moto parabolico sulla Terra:
-
-\begin{equation}
-    \begin{pmatrix}
-        x \\
-        y
-    \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-        x_0 \\
-        y_0
-    \end{pmatrix} + \vec{v_0} t + \frac12 \begin{pmatrix}
-        0 \\
-        -g
-    \end{pmatrix} t^2
-\end{equation}
-
-O si può separare quest'ultima in due equazioni:
-
-\begin{equation}
-    \begin{dcases}
-        x(t)=x_0+v_0\cos(\theta)t \\
-        y(t)=y_0+v_0\sin(\theta)t-\frac12gt^2
-    \end{dcases}
-\end{equation}
-
-\subsection{Il calcolo della gittata e della traiettoria}
-
-Definita la \textit{gittata} come la distanza tra il punto di lancio ed
-il punto in cui il corpo assume la stessa ordinata del punto di lancio e
-la \textit{traiettoria} come la distanza tra il punto di lancio ed il
-punto in cui il corpo assume la massima ordinata, si possono facilmente
-dimostrare le seguenti equazioni per un moto la cui la posizione iniziale
-è nulla e che viene effettuato sulla Terra:
-
-\begin{equation}
-    \displaystyle
-    \begin{dcases}
-        x_{\text{gittata}} = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g} \\
-        x_{\text{traiettoria}} = \frac12 x_{\text{gittata}} = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{2g}
-    \end{dcases}
-\end{equation}
-
-\begin{proof}[Dimostrazione dell'equazione della gittata]
-    L'equazione del moto in questo caso si può sintetizzare nel
-    seguente sistema:
-
-    \begin{equation*}
-        \begin{dcases}
-            x=v_0\cos(\theta)t  \\
-            y=v_0\sin(\theta)t -\frac12gt^2
-        \end{dcases}
-    \end{equation*}
-
-    Poiché il corpo deve raggiungere terra, l'ordinata deve
-    annullarsi, da cui si ottiene il seguente sistema:
-
-    \begin{equation*}
-        \begin{dcases}
-            t=\frac{x}{v_0\cos(\theta)} \\
-            \frac12gt^2=v_0\sin(\theta)t 
-        \end{dcases}
-    \end{equation*}
-
-    Sostituendo la prima equazione nella seconda, ricaviamo:
-
-    \begin{equation*}
-        \frac12 g \frac{x^2}{v_0^2 \cos^2(\theta)}=v_0\sin(\theta) \frac{x}{v_0\cos(\theta)} \Rightarrow x=\frac{2 v_0^2 \sin(\theta) \cos(\theta)}{g}
-    \end{equation*}
-
-    Ricordando che $\sin(2\theta)=2\sin(\theta)\cos(\theta)$, otteniamo infine:
-
-    \begin{equation*}
-        x=\frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}
-    \end{equation*}
-\end{proof}
-
-\begin{proof}[Dimostrazione dell'equazione della traiettoria]
-    Poiché $y(x)$ rappresenta analiticamente una parabola, il punto in cui
-    l'ordinata si massimizza ha come ascissa
-    l'ascissa media tra i due zeri (i.e. l'ascissa del vertice della
-    parabola), ovvero $x_{traiettoria}$ è la media tra $0$ e
-    $x_{\text{gittata}}$:
-
-    \begin{equation*}
-        x_{traiettoria}=\frac{v_0\sin(2\theta)}{2g}
-    \end{equation*}
-\end{proof}
-
-\section{Il moto circolare}
-
-Definendo alcune grandezze fisiche in modo analogo a come vengono
-proposte nel m.u.a., è possibile riproporre le equazioni \ref{eq:mua}
-mediante l'impiego di grandezze esclusivamente angolari.
-
-\subsection{Le equazioni del moto circolare}
-
-Si definiscano dunque le seguenti grandezze:
-
-\begin{itemize}
-    \item L'angolo $\theta$ in funzione del tempo
-    \item La velocità angolare $\displaystyle \omega=\dot{\theta}=\frac{d\theta}{dt}$
-    \item L'accelerazione angolare $\displaystyle \alpha=\ddot{\theta}=\frac{d\omega}{dt}=\frac{d^2\theta}{dt^2}$
-\end{itemize}
-
-Innanzitutto, è possibile coniugare il mondo angolare con quello
-cartesiano, tenendo conto del fatto che $x=\theta r$. In questo modo
-si ricavano le seguenti relazioni:
-
-\begin{itemize}
-    \item $\displaystyle v=\omega r$, la velocità angolare
-    \item $\displaystyle a_t=\alpha r$, l'accelerazione tangenziale
-    (da distinguersi da quella centripeta!)
-\end{itemize}
-
-Per sostituzione, dalle equazioni \ref{eq:mua} si ottengono dunque
-le analoghe seguenti:
-
-\begin{equation}
-    \begin{dcases}
-        \theta = \theta_0 + \omega t + \frac12 \alpha t^2 \\
-        \omega = \omega_0 + \alpha t
-    \end{dcases}
-\end{equation}
-
-Nel caso del moto circolare uniforme ($\alpha=0$) è utile definire
-altre due quantità:
-
-\begin{itemize}
-    \item Il periodo $T=\dfrac{2\pi}{\omega}$
-    \item La frequenza $f=\dfrac{1}{T}=\dfrac{\omega}{2\pi}$
-\end{itemize}
-
-\subsection{L'accelerazione centripeta}
-
-Oltre all'accelerazione tangenziale, direttamente proporzionale a
-quella lineare, è possibile definire anche un altro tipo di
-accelerazione: l'\textbf{accelerazione centripeta} ($a_c$), diretta dal
-corpo verso il centro della circonferenza sulla quale questo muove.
-
-Questo tipo di accelerazione è costante nel moto circolare uniforme
-($\alpha=0$) ed è calcolata mediante le seguente equazione:
-
-\begin{equation}
-    a_c=\frac{v^2}{r}
-    \label{eq:acc_c}
-\end{equation}
-
-Qualora non ci si riferisse ad un moto circolare uniforme,
-l'accelerazione centripeta non sarà costante, ma variabile in
-funzione della velocità con la quale si muove il corpo.
-
-Inoltre, vale la seguente relazione:
-
-\begin{equation}
-    a=\sqrt{a_t^2 + a_c^2}
-    \label{eq:acc_moto_cir}
-\end{equation}
-
-Nel caso del moto circolare uniforme, l'unica
-accelerazione agente sul corpo è quindi quella centripeta.
-
-\subsection{Il moto circolare visualizzato vettorialmente}
-
-\vskip 0.1in
-
-\begin{wrapfigure}[12]{l}{0.5\textwidth}
-    \begin{tikzpicture}
-        \coordinate (a) at (2.236, 0);
-        \coordinate (b) at (0.89, 0.92);
-        \coordinate (o) at (0, 0);
-
-        \draw [rotate around={0:(0,0)}] (0,0) ellipse (2.236 and 1);
-        \draw [->,thick] (0,0) -- (0,2.5) node[midway, right] {$\vec{\omega}$};
-        \draw [->,thick] (0,0) -- (a) node[right] {$\vec{r}(t)$};
-        \draw [->,thick] (0,0) -- (b) node[above right] {$\vec{r}(t+dt)$};
-
-        \draw [->] (a) -- (2.6, 0.7) node[right] {$\vec{v}(t)$};
-
-        \draw pic["$d\theta$", draw=black, angle eccentricity=1.5, angle radius=0.5cm] {angle=a--o--b};
-
-    \end{tikzpicture}
-
-    \caption{Il moto circolare nel piano $O_{xy}$} \label{fig:moto_circolare}
-\end{wrapfigure}
-
-Per visualizzare in modo più intuitivo, ma anche più formale, il
-moto circolare, è possibile costruire un sistema di riferimento
-basandosi su alcune assunzioni.
-
-Basandosi sulla figura \ref{fig:moto_circolare}, assumiamo
-$\vec{d\theta} = d\theta \cdot \hat{z}$, attraverso cui
-possiamo concludere che $\vec{\omega}=\frac{\vec{d\theta}}{dt}$ è anch'esso
-parallelo a $\hat{z}$.
-
-Inoltre, $d\vec{r}$ deve essere perpendicolare sia a $\vec{r}$ che
-a $\vec{\omega}$, poiché appartiene al piano $O_{xy}$.
-
-Perciò è possibile riscrivere $d\vec{r}$ nella seguente forma, tenendo
-conto che il suo modulo è pari a $d\theta \cdot \norm{r}$ (ovvero
-l'arco di circonferenza percorso per $d\theta$):
-
-\begin{equation*}
-    d\vec{r}=\frac{d\theta \cdot \norm{r}}{\lVert \vec{w} \times
-    \vec{r} \rVert} \vec{w} \times \vec{r} =
-    \frac{d\theta}{\norm{\omega}} \vec{w} \times \vec{r}
-\end{equation*}
-
-Poiché la velocità $\vec{v}$ è pari a $\frac{d\vec{r}}{dt}$, si ottiene,
-conoscendo $d\vec{r}$, la seguente relazione:
-
-\begin{equation}
-    \vec{v}=\vec{w}\times\vec{r}
-\end{equation}
-
-Dalla quale si ricava che $\vec{v}$ è perpendicolare sia a $\vec{r}$ che
-a $\vec{\omega}$.
-
-Analogamente, è possibile ricavare l'accelerazione:
-
-\begin{equation}
-    \vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d(\vec{\omega}
-    \times \vec{r})}{dt}=\vec{\alpha} \times \vec{r}
-    + \vec{\omega} \times \vec{v}
-\end{equation}
-
-È interessante notare che $\vec{\alpha} \times \vec{r}$
-è perpendicolare a $\vec{\omega} \times \vec{v}$, permettendoci
-di calcolare facilmente il modulo dell'accelerazione:
-
-\begin{equation}
-    \norm{a} = \sqrt{\nnorm{\vec{\alpha} \times \vec{r}}^2 + \nnorm{\vec{\omega} \times \vec{v}}^2}
-\end{equation}
-
-Non solo: $\vec{\alpha} \times \vec{r}$ è perpendicolare a $\vec{r}$ e
-$\vec{\omega} \times \vec{v}$ gli è parallelo, ma possiede un verso opposto.
-Per questa serie di motivi, $\vec{\alpha} \times \vec{r}$ viene chiamata
-\textbf{accelerazione tangenziale} ($\vec{a_t}$), mentre
-$\vec{\omega} \times \vec{v}$ viene chiamata \textbf{accelerazione centripeta}
-($\vec{a_c}$).
-
-Nel moto circolare uniforme, ove $\vec{\alpha}=0$, infatti l'accelerazione
-centripeta è costante (vd. eq. \ref{eq:acc_c}) e l'accelerazione
-tangenziale è nulla (quindi $\vec{a}=\vec{a_c}$).
-
-Attraverso questa visualizzazione del moto, è possibile ricavare tutte
-le formule proposte all'inizio della sezione (ed è soprattutto
-possibile giustificare l'equazione \ref{eq:acc_moto_cir}).

Fisica/fisica.tex

@@ -1,34 +0,0 @@
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-\begin{document}
-
-\author{Gabriel Antonio Videtta}
-\title{Appunti di Fisica}
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-\maketitle
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-
-\include{1. I moti principali della meccanica newtoniana.tex}
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-\end{document}

Geometria I/1. Primo capitolo.tex

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-\chapter{Primo capitolo}
-
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-In in maximus erat. Aenean gravida nibh elit, at pellentesque
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Geometria I/geometria_i.tex

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-\author{Gabriel Antonio Videtta}
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Geometria euclidea/geometria_euclidea.tex

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-\author{Gabriel Antonio Videtta}
-\title{Appunti di Geometria}
-
-\maketitle
-\newpage
-
-\tableofcontents
-\newpage
-
-\section{Assiomi della geometria}
-
-\subsection{I concetti primitivi}
-
-La geometria euclidea dispone di tre principali concetti primitivi,
-ossia concetti inesprimibili per definizione, ma assunti come
-definiti e chiari. Essi sono:
-
-\begin{itemize}[noitemsep]
-    \item il punto;
-    \item la retta;
-    \item il piano.
-\end{itemize}
-
-Per indicare questi tre concetti sono in atto alcune convenzioni
-stilistiche:
-
-\begin{itemize}[noitemsep]
-    \item i punti vengono indicati con le lettere
-          maiuscole dell'alfabeto latino (\emph{A}, \emph{B}, \emph{C}, ...);
-    \item le rette vengono indicate con le lettere
-          minuscole dell'alfabeto latino (\emph{a}, \emph{b}, \emph{c}, ...);
-    \item i piani vengono indicati con le lettere
-          minuscole dell'alfabeto greco ($\alpha$, $\beta$, $\gamma$, ...).
-\end{itemize}
-
-A partire da questi concetti è possibile stabilire gli assiomi
-della geometria euclidea.
-
-\subsection{Gli assiomi di appartenenza}
-
-Gli assiomi di appartenenza stabiliscono le relazioni tra i
-tre concetti primitivi prima elencati.
-
-\begin{axiom}[Primo assioma di relazione di insieme]
-    Ogni piano è un insieme infinito di punti
-    $( \forall \, \alpha, \, |\alpha| = \infty )$.
-\end{axiom}
-
-\begin{axiom}[Secondo assioma di relazione di insieme]
-    Ogni retta è un sottoinsieme di un piano
-    $(\forall \, r \; \exists! \, \alpha \mid r \in \alpha)$.
-\end{axiom}
-
-\begin{axiom}[Primo assioma di appartenenza della retta]
-    A ogni retta appartengono almeno due punti distinti
-    $(\forall \, r \; \exists \, A, B \mid A \neq B \land A, B \in r)$.
-\end{axiom}
-
-\begin{axiom}[Secondo assioma di appartenenza della retta]
-    \label{retta:secondo_assioma_appartenenza}
-    Dati due punti distinti, esiste una e una sola retta a cui
-    essi appartengano contemporaneamente
-    $(A \neq B \implies \exists! \, r \mid A, B \in r)$.
-\end{axiom}
-
-\begin{theorem}
-    Date due rette distinte, esse possono incontrarsi
-    in al più un punto
-    $(r \neq s \implies |r \cap s| \leq 1)$.
-\end{theorem}
-
-\begin{proof}
-    Qualora le due rette dovessero incontrarsi in più di un punto, esisterebbero
-    allora due punti appartenenti ad
-    ambo le rette. Tuttavia, per
-    l'\textbf{Assioma \ref{retta:secondo_assioma_appartenenza}},
-    attraverso la congiunzione di tali due punti
-    si può determinare una e una sola retta,
-    generando una contraddizione.
-\end{proof}
-
-A partire da questo teorema si possono definire tre combinazioni di rette.
-
-\begin{definition}[Rette coincidenti]
-    Due rette si dicono coincidenti se e solo se
-    condividono il medesimo sottoinsieme del piano
-    $(r \equiv s \iff \nexists P \in r \mid P \notin s \; \land \;
-        \nexists P \in s \mid P \notin r)$.
-\end{definition}
-
-\begin{definition}[Rette incidenti]
-    Due rette si dicono incidenti se e solo se
-    condividono un solo punto del piano.
-\end{definition}
-
-\begin{definition}[Rette parallele]
-    Due rette si dicono parallele se e solo se
-    non condividono alcun punto del piano.
-    ($r \parallel s \iff |r \cap s| = 0$).
-\end{definition}
-
-\begin{definition}[Punti non allineati]
-    Tre o più punti si dicono non allineati se
-    non esiste alcuna retta che li contenga tutti
-    contemporaneamente.
-\end{definition}
-
-\begin{axiom}
-    \label{piano:tre_punti}
-    Tre punti non allineati definiscono sempre e
-    univocamente un piano
-    $(A, B, C \mid \nexists \, r \mid A, B, C \in r \implies
-        \exists \, \alpha \mid A, B, C \in \alpha)$.
-\end{axiom}
-
-\subsection{Gli assiomi di ordine}
-
-Un verso di percorrenza in una retta $r$ viene istituito come
-un sistema mediante il quale è sempre possibile stabilire una
-relazione di ordine tra due punti distinti $A$ e $B$ appartenenti
-alla medesima retta in modo tale che $A>B$ o $A<B$.
-
-Stabilito un verso di percorrenza di una retta, vengono
-postulati due assiomi detti di ordine che fanno riferimento
-a tale verso di percorrenza.
-
-\begin{axiom}[Primo assioma di ordine della retta]
-    Presi due punti distinti $A$ e $B$ appartenenti alla retta $r$
-    tali che $A<B$, allora esiste un punto $C$, sempre
-    appartenente alla retta $r$, tale che $A<C<B$
-    $(A,B \in r \mid A<B \implies \exists \, C \in r \mid A<C<B)$.
-\end{axiom}
-
-\begin{axiom}[Secondo assioma di ordine della retta]
-    \label{retta:secondo_assioma_ordine}
-    Dato un punto $C$ appartenente alla retta $r$, esistono
-    sempre due punti $A$ e $B$, sempre appartenenti a $r$,
-    tali che $A<C<B$.
-    $(C \in r \implies \exists \, A,B \in r \mid A<C<B)$.
-\end{axiom}
-
-\begin{theorem}
-    \label{retta:infiniti_punti}
-    Ad ogni retta appartengono infiniti punti.
-\end{theorem}
-
-\begin{proof}
-    Qualora ad una retta appartenesse un numero finito di punti,
-    stabilito un verso di percorrenza, sarebbe possibile enumerare
-    tali punti in ordine. Presi i primi due punti minori $A$ e $B$,
-    ossia tali che non esista alcun punto $C$ tale che $A<C<B$, per
-    l'\textbf{Assioma \ref{retta:secondo_assioma_ordine}} tra di essi deve
-    esistere un punto $C$ tale che $A<C<B$, entrando
-    in piena contraddizione con l'assunto.
-\end{proof}
-
-\begin{theorem}
-    Ogni punto $P$ del piano appartiene ad un numero infinito di rette.
-\end{theorem}
-
-\begin{proof}
-    Per l'\textbf{Assioma \ref{piano:tre_punti}}, per ogni
-    punto $P$ del piano devono esistere altri due punti $A$ e $B$
-    tali che la retta che li congiunge non contenga $P$.
-
-    Si considerino le rette $a$, che congiunge $P$ e $A$, e $d$,
-    che congiunge $A$ e $B$. Per conseguenza del
-    \textbf{Teorema \ref{retta:infiniti_punti}},
-    per $d$ passano infiniti punti, i quali, presi singolarmente
-    e congiunti a $P$, definiscono allo stesso modo infinite
-    rette.
-\end{proof}
-
-\end{document}