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\chapter{Primo capitolo}
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\documentclass[oneside]{book}
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\newcommand{\nnorm}[1]{\lVert #1 \rVert}
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\newtheorem{axiom}{Assioma}[section]
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\newtheorem{theorem}{Teorema}[section]
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\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
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\theoremstyle{definition}
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\newtheorem{definition}{Definizione}[section]
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\begin{document}
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\author{Gabriel Antonio Videtta}
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\title{Appunti di Algebra lineare}
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\maketitle
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\tableofcontents
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\include{1. Primo capitolo.tex}
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\end{document}
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\chapter{Primo capitolo}
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Suspendisse maximus est augue, eget tincidunt turpis lobortis
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eget. Vivamus placerat, elit a gravida sollicitudin, ante mauris
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fermentum erat, accumsan mattis lectus justo quis massa. Cras
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eleifend arcu vitae mauris efficitur, ut dapibus ligula fermentum.
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Aliquam eget nisi congue, varius mi id, placerat ante. Duis at
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egestas ligula. Morbi pulvinar dolor ut nibh auctor, quis congue
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elit aliquam. Cras placerat lorem eros, et pretium nisi finibus
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In in maximus erat. Aenean gravida nibh elit, at pellentesque
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\renewcommand\qedsymbol{$\blacksquare$}
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\newcommand{\gfrac}[2]{\displaystyle \frac{#1}{#2}}
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\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
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\newcommand{\norm}[1]{\lVert \vec{#1} \rVert}
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\newcommand{\nnorm}[1]{\lVert #1 \rVert}
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\newtheorem{axiom}{Assioma}[section]
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\newtheorem{theorem}{Teorema}[section]
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\newtheorem{corollary}{Corollario}[theorem]
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\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
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\theoremstyle{definition}
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\newtheorem{definition}{Definizione}[section]
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\begin{document}
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\author{Gabriel Antonio Videtta}
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\title{Appunti di Analisi I}
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\maketitle
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\tableofcontents
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\include{1. Primo capitolo.tex}
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\end{document}
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\chapter{I moti principali della meccanica newtoniana}
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\section{Il moto uniformemente accelerato (m.u.a.)}
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Conoscendo le definizioni di accelerazione ($\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}$)
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e di velocità ($\vec{v} = \frac{d\vec{x}}{dt}$) è possibile, ponendo l'accelerazione
|
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costante (i.e. il \textit{jerk} è nullo, $\frac{d\vec{a}}{dt} = 0$), ricavare numerose formule.
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\subsection{Le equazioni del moto in un sistema di riferimento unidimensionale}
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Le equazioni del moto sono le seguenti:
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\begin{equation}
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\begin{dcases}
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x(t)=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2 \\
|
||||
v(t)=v_0+at
|
||||
\end{dcases}
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\label{eq:mua}
|
||||
\end{equation}
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\begin{proof}
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Da $a=\frac{dv}{dt}$, si ricava $dv=a\cdot dt$, da cui:
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\begin{equation*}
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\int dv=\int a\, dt = a \int dt \Rightarrow v=v_0+at
|
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\end{equation*}
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||||
Dimostrata questa prima equazione, è possibile dimostrare in modo analogo l'altra:
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\begin{equation*}
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\int dx=\int v\cdot dt = \int v_0\, dt + \int at\, dt = x_0+v_0t+\frac12at^2
|
||||
\end{equation*}
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||||
La dimostrazione può essere inoltre resa immediata se si sviluppano $x(t)$ e
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$v(t)$ come serie di Taylor-Maclaurin.
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\end{proof}
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\subsection{Lo spostamento in funzione della velocità e dell'accelerazione}
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Senza ricorrere alla variabile di tempo $t$, è possibile
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esprimere lo spostamento in funzione della velocità e dell'accelerazione
|
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mediante le seguente formula:
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\begin{equation}
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x-x_0=\frac{v^2-v_0^2}{2a}
|
||||
\end{equation}
|
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||||
\begin{proof}
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|
||||
Considerando $a=\frac{dv}{dt}$, è possibile riscrivere, mediante l'impiego
|
||||
delle formule di derivazione delle funzioni composte, quest'ultima formula:
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|
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\begin{equation*}
|
||||
a=\frac{dv}{dt}=\frac{dx}{dt}\frac{dv}{dx}=v\,\frac{dv}{dx}
|
||||
\end{equation*}
|
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|
||||
Da ciò si può ricavare infine l'ultima formula:
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\begin{equation*}
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a\,dx=v\,dv \Rightarrow a \int dx = \int v \, dv
|
||||
\end{equation*}
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E quindi:
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\begin{equation*}
|
||||
a(x-x_0)=\frac{v^2-v_0^2}{2} \Rightarrow x-x_0=\frac{v^2-v_0^2}{2a}
|
||||
\end{equation*}
|
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\end{proof}
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\section{Il moto dei proiettili}
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Il \textit{moto dei proiettili}, o moto parabolico, non
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è altro che la forma vettoriale del m.u.a. sfruttando due accelerazioni per
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entrambe le dimensioni: una nulla (quella dello spostamento parallelo al
|
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terreno) ed una pari a $-g$ (quella data dalla gravità nello spostamento
|
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normale al terreno).
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\subsection{Le equazioni del moto dei proiettili}
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Riprendendo le precedenti considerazioni, si può dunque scrivere
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l'equazione del moto in forma vettoriale:
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\begin{equation}
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\begin{pmatrix}
|
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x \\
|
||||
y
|
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\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
|
||||
x_0 \\
|
||||
y_0
|
||||
\end{pmatrix} + \vec{v_0} t + \frac12 \vec{a} t^2
|
||||
\end{equation}
|
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|
||||
O nel casso del moto parabolico sulla Terra:
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||||
\begin{equation}
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
x \\
|
||||
y
|
||||
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
|
||||
x_0 \\
|
||||
y_0
|
||||
\end{pmatrix} + \vec{v_0} t + \frac12 \begin{pmatrix}
|
||||
0 \\
|
||||
-g
|
||||
\end{pmatrix} t^2
|
||||
\end{equation}
|
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||||
O si può separare quest'ultima in due equazioni:
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\begin{equation}
|
||||
\begin{dcases}
|
||||
x(t)=x_0+v_0\cos(\theta)t \\
|
||||
y(t)=y_0+v_0\sin(\theta)t-\frac12gt^2
|
||||
\end{dcases}
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
\subsection{Il calcolo della gittata e della traiettoria}
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Definita la \textit{gittata} come la distanza tra il punto di lancio ed
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||||
il punto in cui il corpo assume la stessa ordinata del punto di lancio e
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la \textit{traiettoria} come la distanza tra il punto di lancio ed il
|
||||
punto in cui il corpo assume la massima ordinata, si possono facilmente
|
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dimostrare le seguenti equazioni per un moto la cui la posizione iniziale
|
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è nulla e che viene effettuato sulla Terra:
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||||
\begin{equation}
|
||||
\displaystyle
|
||||
\begin{dcases}
|
||||
x_{\text{gittata}} = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g} \\
|
||||
x_{\text{traiettoria}} = \frac12 x_{\text{gittata}} = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{2g}
|
||||
\end{dcases}
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
\begin{proof}[Dimostrazione dell'equazione della gittata]
|
||||
L'equazione del moto in questo caso si può sintetizzare nel
|
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seguente sistema:
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|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\begin{dcases}
|
||||
x=v_0\cos(\theta)t \\
|
||||
y=v_0\sin(\theta)t -\frac12gt^2
|
||||
\end{dcases}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
Poiché il corpo deve raggiungere terra, l'ordinata deve
|
||||
annullarsi, da cui si ottiene il seguente sistema:
|
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|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\begin{dcases}
|
||||
t=\frac{x}{v_0\cos(\theta)} \\
|
||||
\frac12gt^2=v_0\sin(\theta)t
|
||||
\end{dcases}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
Sostituendo la prima equazione nella seconda, ricaviamo:
|
||||
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\frac12 g \frac{x^2}{v_0^2 \cos^2(\theta)}=v_0\sin(\theta) \frac{x}{v_0\cos(\theta)} \Rightarrow x=\frac{2 v_0^2 \sin(\theta) \cos(\theta)}{g}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
Ricordando che $\sin(2\theta)=2\sin(\theta)\cos(\theta)$, otteniamo infine:
|
||||
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
x=\frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{proof}[Dimostrazione dell'equazione della traiettoria]
|
||||
Poiché $y(x)$ rappresenta analiticamente una parabola, il punto in cui
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l'ordinata si massimizza ha come ascissa
|
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l'ascissa media tra i due zeri (i.e. l'ascissa del vertice della
|
||||
parabola), ovvero $x_{traiettoria}$ è la media tra $0$ e
|
||||
$x_{\text{gittata}}$:
|
||||
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
x_{traiettoria}=\frac{v_0\sin(2\theta)}{2g}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\section{Il moto circolare}
|
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||||
Definendo alcune grandezze fisiche in modo analogo a come vengono
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proposte nel m.u.a., è possibile riproporre le equazioni \ref{eq:mua}
|
||||
mediante l'impiego di grandezze esclusivamente angolari.
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\subsection{Le equazioni del moto circolare}
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Si definiscano dunque le seguenti grandezze:
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\begin{itemize}
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\item L'angolo $\theta$ in funzione del tempo
|
||||
\item La velocità angolare $\displaystyle \omega=\dot{\theta}=\frac{d\theta}{dt}$
|
||||
\item L'accelerazione angolare $\displaystyle \alpha=\ddot{\theta}=\frac{d\omega}{dt}=\frac{d^2\theta}{dt^2}$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
Innanzitutto, è possibile coniugare il mondo angolare con quello
|
||||
cartesiano, tenendo conto del fatto che $x=\theta r$. In questo modo
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si ricavano le seguenti relazioni:
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||||
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\begin{itemize}
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||||
\item $\displaystyle v=\omega r$, la velocità angolare
|
||||
\item $\displaystyle a_t=\alpha r$, l'accelerazione tangenziale
|
||||
(da distinguersi da quella centripeta!)
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
Per sostituzione, dalle equazioni \ref{eq:mua} si ottengono dunque
|
||||
le analoghe seguenti:
|
||||
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\begin{dcases}
|
||||
\theta = \theta_0 + \omega t + \frac12 \alpha t^2 \\
|
||||
\omega = \omega_0 + \alpha t
|
||||
\end{dcases}
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
Nel caso del moto circolare uniforme ($\alpha=0$) è utile definire
|
||||
altre due quantità:
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Il periodo $T=\dfrac{2\pi}{\omega}$
|
||||
\item La frequenza $f=\dfrac{1}{T}=\dfrac{\omega}{2\pi}$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\subsection{L'accelerazione centripeta}
|
||||
|
||||
Oltre all'accelerazione tangenziale, direttamente proporzionale a
|
||||
quella lineare, è possibile definire anche un altro tipo di
|
||||
accelerazione: l'\textbf{accelerazione centripeta} ($a_c$), diretta dal
|
||||
corpo verso il centro della circonferenza sulla quale questo muove.
|
||||
|
||||
Questo tipo di accelerazione è costante nel moto circolare uniforme
|
||||
($\alpha=0$) ed è calcolata mediante le seguente equazione:
|
||||
|
||||
\begin{equation}
|
||||
a_c=\frac{v^2}{r}
|
||||
\label{eq:acc_c}
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
Qualora non ci si riferisse ad un moto circolare uniforme,
|
||||
l'accelerazione centripeta non sarà costante, ma variabile in
|
||||
funzione della velocità con la quale si muove il corpo.
|
||||
|
||||
Inoltre, vale la seguente relazione:
|
||||
|
||||
\begin{equation}
|
||||
a=\sqrt{a_t^2 + a_c^2}
|
||||
\label{eq:acc_moto_cir}
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
Nel caso del moto circolare uniforme, l'unica
|
||||
accelerazione agente sul corpo è quindi quella centripeta.
|
||||
|
||||
\subsection{Il moto circolare visualizzato vettorialmente}
|
||||
|
||||
\vskip 0.1in
|
||||
|
||||
\begin{wrapfigure}[12]{l}{0.5\textwidth}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\coordinate (a) at (2.236, 0);
|
||||
\coordinate (b) at (0.89, 0.92);
|
||||
\coordinate (o) at (0, 0);
|
||||
|
||||
\draw [rotate around={0:(0,0)}] (0,0) ellipse (2.236 and 1);
|
||||
\draw [->,thick] (0,0) -- (0,2.5) node[midway, right] {$\vec{\omega}$};
|
||||
\draw [->,thick] (0,0) -- (a) node[right] {$\vec{r}(t)$};
|
||||
\draw [->,thick] (0,0) -- (b) node[above right] {$\vec{r}(t+dt)$};
|
||||
|
||||
\draw [->] (a) -- (2.6, 0.7) node[right] {$\vec{v}(t)$};
|
||||
|
||||
\draw pic["$d\theta$", draw=black, angle eccentricity=1.5, angle radius=0.5cm] {angle=a--o--b};
|
||||
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\caption{Il moto circolare nel piano $O_{xy}$} \label{fig:moto_circolare}
|
||||
\end{wrapfigure}
|
||||
|
||||
Per visualizzare in modo più intuitivo, ma anche più formale, il
|
||||
moto circolare, è possibile costruire un sistema di riferimento
|
||||
basandosi su alcune assunzioni.
|
||||
|
||||
Basandosi sulla figura \ref{fig:moto_circolare}, assumiamo
|
||||
$\vec{d\theta} = d\theta \cdot \hat{z}$, attraverso cui
|
||||
possiamo concludere che $\vec{\omega}=\frac{\vec{d\theta}}{dt}$ è anch'esso
|
||||
parallelo a $\hat{z}$.
|
||||
|
||||
Inoltre, $d\vec{r}$ deve essere perpendicolare sia a $\vec{r}$ che
|
||||
a $\vec{\omega}$, poiché appartiene al piano $O_{xy}$.
|
||||
|
||||
Perciò è possibile riscrivere $d\vec{r}$ nella seguente forma, tenendo
|
||||
conto che il suo modulo è pari a $d\theta \cdot \norm{r}$ (ovvero
|
||||
l'arco di circonferenza percorso per $d\theta$):
|
||||
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
d\vec{r}=\frac{d\theta \cdot \norm{r}}{\lVert \vec{w} \times
|
||||
\vec{r} \rVert} \vec{w} \times \vec{r} =
|
||||
\frac{d\theta}{\norm{\omega}} \vec{w} \times \vec{r}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
Poiché la velocità $\vec{v}$ è pari a $\frac{d\vec{r}}{dt}$, si ottiene,
|
||||
conoscendo $d\vec{r}$, la seguente relazione:
|
||||
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\vec{v}=\vec{w}\times\vec{r}
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
Dalla quale si ricava che $\vec{v}$ è perpendicolare sia a $\vec{r}$ che
|
||||
a $\vec{\omega}$.
|
||||
|
||||
Analogamente, è possibile ricavare l'accelerazione:
|
||||
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d(\vec{\omega}
|
||||
\times \vec{r})}{dt}=\vec{\alpha} \times \vec{r}
|
||||
+ \vec{\omega} \times \vec{v}
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
È interessante notare che $\vec{\alpha} \times \vec{r}$
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è perpendicolare a $\vec{\omega} \times \vec{v}$, permettendoci
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di calcolare facilmente il modulo dell'accelerazione:
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\begin{equation}
|
||||
\norm{a} = \sqrt{\nnorm{\vec{\alpha} \times \vec{r}}^2 + \nnorm{\vec{\omega} \times \vec{v}}^2}
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
Non solo: $\vec{\alpha} \times \vec{r}$ è perpendicolare a $\vec{r}$ e
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||||
$\vec{\omega} \times \vec{v}$ gli è parallelo, ma possiede un verso opposto.
|
||||
Per questa serie di motivi, $\vec{\alpha} \times \vec{r}$ viene chiamata
|
||||
\textbf{accelerazione tangenziale} ($\vec{a_t}$), mentre
|
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$\vec{\omega} \times \vec{v}$ viene chiamata \textbf{accelerazione centripeta}
|
||||
($\vec{a_c}$).
|
||||
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Nel moto circolare uniforme, ove $\vec{\alpha}=0$, infatti l'accelerazione
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centripeta è costante (vd. eq. \ref{eq:acc_c}) e l'accelerazione
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tangenziale è nulla (quindi $\vec{a}=\vec{a_c}$).
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||||
Attraverso questa visualizzazione del moto, è possibile ricavare tutte
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le formule proposte all'inizio della sezione (ed è soprattutto
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possibile giustificare l'equazione \ref{eq:acc_moto_cir}).
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\documentclass[oneside]{book}
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\usepackage{mathtools}
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\usepackage[parfill]{parskip}
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\pgfplotsset{compat=1.15}
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\usepackage{mathrsfs}
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\usetikzlibrary{arrows,angles,quotes}
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\newcommand{\gfrac}[2]{\displaystyle \frac{#1}{#2}}
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\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
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\newcommand{\norm}[1]{\lVert \vec{#1} \rVert}
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\newcommand{\nnorm}[1]{\lVert #1 \rVert}
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\begin{document}
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\author{Gabriel Antonio Videtta}
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\title{Appunti di Fisica}
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\maketitle
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\tableofcontents
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\include{1. I moti principali della meccanica newtoniana.tex}
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\end{document}
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\chapter{Primo capitolo}
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Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit.
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Etiam laoreet venenatis ligula, et posuere est malesuada non.
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In placerat rutrum felis, vel consectetur justo commodo tempus.
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Etiam placerat mattis lectus, eget convallis ipsum convallis
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sit amet. Nunc laoreet sapien sed accumsan aliquet. Vestibulum
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justo purus, varius et dolor feugiat, viverra tincidunt diam.
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Suspendisse maximus est augue, eget tincidunt turpis lobortis
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eget. Vivamus placerat, elit a gravida sollicitudin, ante mauris
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fermentum erat, accumsan mattis lectus justo quis massa. Cras
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eleifend arcu vitae mauris efficitur, ut dapibus ligula fermentum.
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Aliquam eget nisi congue, varius mi id, placerat ante. Duis at
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egestas ligula. Morbi pulvinar dolor ut nibh auctor, quis congue
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elit aliquam. Cras placerat lorem eros, et pretium nisi finibus
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a. Integer dignissim mi nulla, id consectetur nisi blandit sed.
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In in maximus erat. Aenean gravida nibh elit, at pellentesque
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lorem porttitor eget.
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\usepackage[a4paper, total={6in, 8in}]{geometry}
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\usetikzlibrary{arrows,angles,quotes}
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\renewcommand\qedsymbol{$\blacksquare$}
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\newcommand{\gfrac}[2]{\displaystyle \frac{#1}{#2}}
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\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
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\newcommand{\norm}[1]{\lVert \vec{#1} \rVert}
|
||||
\newcommand{\nnorm}[1]{\lVert #1 \rVert}
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||||
\newtheorem{axiom}{Assioma}[section]
|
||||
\newtheorem{theorem}{Teorema}[section]
|
||||
\newtheorem{corollary}{Corollario}[theorem]
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||||
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
|
||||
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||||
\theoremstyle{definition}
|
||||
\newtheorem{definition}{Definizione}[section]
|
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||||
\begin{document}
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||||
\author{Gabriel Antonio Videtta}
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||||
\title{Appunti di Geometria I}
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\maketitle
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\newpage
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\tableofcontents
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\newpage
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||||
\include{1. Primo capitolo.tex}
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\end{document}
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|
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\renewcommand\qedsymbol{$\blacksquare$}
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||||
|
||||
\newcommand{\gfrac}[2]{\displaystyle \frac{#1}{#2}}
|
||||
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
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||||
\newcommand{\norm}[1]{\lVert \vec{#1} \rVert}
|
||||
\newcommand{\nnorm}[1]{\lVert #1 \rVert}
|
||||
|
||||
\newtheorem{axiom}{Assioma}[section]
|
||||
\newtheorem{theorem}{Teorema}[section]
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||||
\newtheorem{corollary}{Corollario}[theorem]
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||||
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
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||||
\theoremstyle{definition}
|
||||
\newtheorem{definition}{Definizione}[section]
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
|
||||
\author{Gabriel Antonio Videtta}
|
||||
\title{Appunti di Geometria}
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||||
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\maketitle
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\newpage
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||||
\tableofcontents
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\newpage
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||||
\section{Assiomi della geometria}
|
||||
|
||||
\subsection{I concetti primitivi}
|
||||
|
||||
La geometria euclidea dispone di tre principali concetti primitivi,
|
||||
ossia concetti inesprimibili per definizione, ma assunti come
|
||||
definiti e chiari. Essi sono:
|
||||
|
||||
\begin{itemize}[noitemsep]
|
||||
\item il punto;
|
||||
\item la retta;
|
||||
\item il piano.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
Per indicare questi tre concetti sono in atto alcune convenzioni
|
||||
stilistiche:
|
||||
|
||||
\begin{itemize}[noitemsep]
|
||||
\item i punti vengono indicati con le lettere
|
||||
maiuscole dell'alfabeto latino (\emph{A}, \emph{B}, \emph{C}, ...);
|
||||
\item le rette vengono indicate con le lettere
|
||||
minuscole dell'alfabeto latino (\emph{a}, \emph{b}, \emph{c}, ...);
|
||||
\item i piani vengono indicati con le lettere
|
||||
minuscole dell'alfabeto greco ($\alpha$, $\beta$, $\gamma$, ...).
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
A partire da questi concetti è possibile stabilire gli assiomi
|
||||
della geometria euclidea.
|
||||
|
||||
\subsection{Gli assiomi di appartenenza}
|
||||
|
||||
Gli assiomi di appartenenza stabiliscono le relazioni tra i
|
||||
tre concetti primitivi prima elencati.
|
||||
|
||||
\begin{axiom}[Primo assioma di relazione di insieme]
|
||||
Ogni piano è un insieme infinito di punti
|
||||
$( \forall \, \alpha, \, |\alpha| = \infty )$.
|
||||
\end{axiom}
|
||||
|
||||
\begin{axiom}[Secondo assioma di relazione di insieme]
|
||||
Ogni retta è un sottoinsieme di un piano
|
||||
$(\forall \, r \; \exists! \, \alpha \mid r \in \alpha)$.
|
||||
\end{axiom}
|
||||
|
||||
\begin{axiom}[Primo assioma di appartenenza della retta]
|
||||
A ogni retta appartengono almeno due punti distinti
|
||||
$(\forall \, r \; \exists \, A, B \mid A \neq B \land A, B \in r)$.
|
||||
\end{axiom}
|
||||
|
||||
\begin{axiom}[Secondo assioma di appartenenza della retta]
|
||||
\label{retta:secondo_assioma_appartenenza}
|
||||
Dati due punti distinti, esiste una e una sola retta a cui
|
||||
essi appartengano contemporaneamente
|
||||
$(A \neq B \implies \exists! \, r \mid A, B \in r)$.
|
||||
\end{axiom}
|
||||
|
||||
\begin{theorem}
|
||||
Date due rette distinte, esse possono incontrarsi
|
||||
in al più un punto
|
||||
$(r \neq s \implies |r \cap s| \leq 1)$.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Qualora le due rette dovessero incontrarsi in più di un punto, esisterebbero
|
||||
allora due punti appartenenti ad
|
||||
ambo le rette. Tuttavia, per
|
||||
l'\textbf{Assioma \ref{retta:secondo_assioma_appartenenza}},
|
||||
attraverso la congiunzione di tali due punti
|
||||
si può determinare una e una sola retta,
|
||||
generando una contraddizione.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
A partire da questo teorema si possono definire tre combinazioni di rette.
|
||||
|
||||
\begin{definition}[Rette coincidenti]
|
||||
Due rette si dicono coincidenti se e solo se
|
||||
condividono il medesimo sottoinsieme del piano
|
||||
$(r \equiv s \iff \nexists P \in r \mid P \notin s \; \land \;
|
||||
\nexists P \in s \mid P \notin r)$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{definition}[Rette incidenti]
|
||||
Due rette si dicono incidenti se e solo se
|
||||
condividono un solo punto del piano.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{definition}[Rette parallele]
|
||||
Due rette si dicono parallele se e solo se
|
||||
non condividono alcun punto del piano.
|
||||
($r \parallel s \iff |r \cap s| = 0$).
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{definition}[Punti non allineati]
|
||||
Tre o più punti si dicono non allineati se
|
||||
non esiste alcuna retta che li contenga tutti
|
||||
contemporaneamente.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{axiom}
|
||||
\label{piano:tre_punti}
|
||||
Tre punti non allineati definiscono sempre e
|
||||
univocamente un piano
|
||||
$(A, B, C \mid \nexists \, r \mid A, B, C \in r \implies
|
||||
\exists \, \alpha \mid A, B, C \in \alpha)$.
|
||||
\end{axiom}
|
||||
|
||||
\subsection{Gli assiomi di ordine}
|
||||
|
||||
Un verso di percorrenza in una retta $r$ viene istituito come
|
||||
un sistema mediante il quale è sempre possibile stabilire una
|
||||
relazione di ordine tra due punti distinti $A$ e $B$ appartenenti
|
||||
alla medesima retta in modo tale che $A>B$ o $A<B$.
|
||||
|
||||
Stabilito un verso di percorrenza di una retta, vengono
|
||||
postulati due assiomi detti di ordine che fanno riferimento
|
||||
a tale verso di percorrenza.
|
||||
|
||||
\begin{axiom}[Primo assioma di ordine della retta]
|
||||
Presi due punti distinti $A$ e $B$ appartenenti alla retta $r$
|
||||
tali che $A<B$, allora esiste un punto $C$, sempre
|
||||
appartenente alla retta $r$, tale che $A<C<B$
|
||||
$(A,B \in r \mid A<B \implies \exists \, C \in r \mid A<C<B)$.
|
||||
\end{axiom}
|
||||
|
||||
\begin{axiom}[Secondo assioma di ordine della retta]
|
||||
\label{retta:secondo_assioma_ordine}
|
||||
Dato un punto $C$ appartenente alla retta $r$, esistono
|
||||
sempre due punti $A$ e $B$, sempre appartenenti a $r$,
|
||||
tali che $A<C<B$.
|
||||
$(C \in r \implies \exists \, A,B \in r \mid A<C<B)$.
|
||||
\end{axiom}
|
||||
|
||||
\begin{theorem}
|
||||
\label{retta:infiniti_punti}
|
||||
Ad ogni retta appartengono infiniti punti.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Qualora ad una retta appartenesse un numero finito di punti,
|
||||
stabilito un verso di percorrenza, sarebbe possibile enumerare
|
||||
tali punti in ordine. Presi i primi due punti minori $A$ e $B$,
|
||||
ossia tali che non esista alcun punto $C$ tale che $A<C<B$, per
|
||||
l'\textbf{Assioma \ref{retta:secondo_assioma_ordine}} tra di essi deve
|
||||
esistere un punto $C$ tale che $A<C<B$, entrando
|
||||
in piena contraddizione con l'assunto.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{theorem}
|
||||
Ogni punto $P$ del piano appartiene ad un numero infinito di rette.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Per l'\textbf{Assioma \ref{piano:tre_punti}}, per ogni
|
||||
punto $P$ del piano devono esistere altri due punti $A$ e $B$
|
||||
tali che la retta che li congiunge non contenga $P$.
|
||||
|
||||
Si considerino le rette $a$, che congiunge $P$ e $A$, e $d$,
|
||||
che congiunge $A$ e $B$. Per conseguenza del
|
||||
\textbf{Teorema \ref{retta:infiniti_punti}},
|
||||
per $d$ passano infiniti punti, i quali, presi singolarmente
|
||||
e congiunti a $P$, definiscono allo stesso modo infinite
|
||||
rette.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
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