versione finale

src/prelude.typ

@@ -25,18 +25,22 @@
 //   })
 // }
 
-#let definition(body, name: none) = {
+#let definition(body, name: none, numbered: false) = {
   // show figure: statement-style(name, numbered: false)
-  figure(body, kind: "definition", supplement: {
-    [Definizione]
-    if name != none {
-      [ -- ]
-      name
-    }
-  })
+  figure(
+    //
+    body,
+    kind: "definition",
+    supplement: if name != none {
+      [#name]
+    },
+    numbering: if numbered {
+      "1"
+    },
+  )
 }
 
-#let fact(body, name: none) = {
+#let fact(body, numbered: false, name: none) = {
   // show figure: statement-style(name, numbered: false)
   figure(body, kind: "fact", supplement: {
     [Fatto]
@@ -44,7 +48,12 @@
       [ -- ]
       name
     }
-  })
+  }, numbering: if numbered { "1" })
+}
+
+#let observation(body) = {
+  // show figure: statement-style(name, numbered: false)
+  figure(body, kind: "observation", supplement: [Osservazione], numbering: "1")
 }
 
 #let proposition(body, numbered: true) = {
@@ -142,4 +151,10 @@
   } #h(0.125em)$
 }
 
-#let marker(content) = metadata(("marker", content))
+#let marker(content) = metadata(("marker", content))
+
+#let qquad = h(2em)
+
+#let diff-add(body) = block(fill: green.mix(white), outset: (x: 2pt, y: 3pt), radius: 2pt, body)
+
+#let diff-del(body) = block(fill: red.mix(white), outset: (x: 2pt, y: 3pt), radius: 2pt, body)

src/presentation.typ

@@ -0,0 +1,418 @@
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+
+// cetz and fletcher bindings for touying
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+#let fletcher-diagram = touying-reducer.with(reduce: fletcher.diagram, cover: fletcher.hide)
+
+#show: dm-unipi-theme.with(aspect-ratio: "16-9", config-common(frozen-counters: (theorem-counter,)), config-info(
+  title: [Il Polinomio di Kauffman: Un Invariante di Isotopia Regolare],
+  subtitle: [Tesi di Laurea Triennale],
+  author: [Antonio De Lucreziis],
+  date: [18 Luglio 2025],
+  institution: [Dipartimento di Matematica \ Università di Pisa],
+  logo: image("assets/dm-unipi-logo-bianco.png"),
+))
+
+// #set text(font: "Source Sans Pro", weight: 500, size: 20pt)
+#set text(font: "Open Sans", weight: 400, size: 17pt)
+#set strong(delta: 100)
+#set par(leading: 1em)
+#set list(spacing: 1em)
+
+#title-slide()
+
+= Introduzione e Motivazione
+
+== Motivazione
+
+#slide[
+  Come distinguere matematicamente due nodi?
+
+  #pause
+
+  - I nodi possono apparire diversi ma essere topologicamente equivalenti
+  - Abbiamo bisogno di *invarianti*: proprietà che non cambiano sotto deformazioni ammesse
+  - Gli invarianti polinomiali sono strumenti potenti e computabili
+
+  #pause
+
+  #align(center)[
+    #text(size: 1.2em, weight: "bold")[
+      Obiettivo: costruire un invariante polinomiale robusto
+    ]
+  ]
+]
+
+== Nodi e Diagrammi
+
+#slide[
+  *Definizione:* Un *nodo tame* è un sottoinsieme $K subset bb(R)^3$ per cui esiste un embedding $f : bb(S)^1 arrow.hook bb(R)^3$ localmente piatto con $K = f(bb(S)^1)$.
+
+  #pause
+
+  *Problema:* Lavorare direttamente con embedding in $bb(R)^3$ è complesso
+
+  #pause
+
+  *Soluzione:* Proiezioni su un piano
+  - Proiettiamo il nodo su un piano
+  - Aggiungiamo informazione *sopra/sotto* ad ogni incrocio
+  - Otteniamo un *diagramma* del nodo
+
+  #pause
+
+  #align(center)[
+    I diagrammi sono l'interfaccia computazionale per studiare i nodi
+  ]
+]
+
+== Equivalenze tra Nodi
+
+#slide[
+  *Isotopia Ambiente:* Deformare un nodo senza tagliarlo o incollarlo
+
+  Due nodi $K_0, K_1 subset bb(R)^3$ sono *equivalenti* se esiste un'*isotopia ambiente* $H : bb(R)^3 times [0,1] arrow bb(R)^3$
+
+  #pause
+
+  *Teorema di Reidemeister:* Due diagrammi rappresentano nodi equivalenti se e solo se sono collegati da mosse I, II, III
+
+  #pause
+
+  *Isotopia Regolare:* Equivalenza generata solo da mosse II e III (ignoriamo la mossa I)
+
+  #pause
+
+  #align(center)[
+    L'isotopia regolare "vede" i riccioli (curls)
+  ]
+]
+
+= Teoria e Costruzione
+
+== Il Writhe: Un Primo Invariante
+
+#slide[
+  *Definizione del segno di un incrocio:*
+  $epsilon(+) = +1 quad quad epsilon(-) = -1$
+
+  #pause
+
+  *Il writhe:* $w(K) := sum_("incroci " c) epsilon(c)$
+
+  #pause
+
+  *Proprietà:*
+  - Invariante per mosse II e III ✓
+  - NON invariante per mossa I ✗
+
+  #pause
+
+  *Formula di correzione:* Se $L_K$ è invariante per isotopia regolare con
+  $L(#text("sopra-ricciolo")) = a L(#text("filo"))$, $L(#text("sotto-ricciolo")) = a^(-1) L(#text("filo"))$
+
+  Allora: $F_K := a^(-w(K)) L_K$ è invariante per isotopia ambiente!
+]
+
+== Il Polinomio di Kauffman: Definizione
+
+#slide[
+  Il protagonista: $L_K (a,z) in bb(Z)[a, a^(-1), z, z^(-1)]$
+
+  *Assiomi:*
+  1. Se $K$, $K'$ sono equivalenti a meno di isotopia regolare, allora $L_K = L_K'$
+
+  #pause
+
+  2. Relazioni skein:
+    - $L(#text("sopra")) + L(#text("sotto")) = z(L(#text("h-splice")) + L(#text("v-splice")))$
+    - $L(#text("nodo banale")) = 1$
+    - $L(#text("sopra-ricciolo")) = a L(#text("filo"))$, $L(#text("sotto-ricciolo")) = a^(-1) L(#text("filo"))$
+
+  #pause
+
+  *Domanda:* Gli assiomi definiscono univocamente $L_K$?
+]
+
+== Esempio: Link di Hopf
+
+#slide[
+  Applichiamo la relazione skein:
+
+  $L[#text("Hopf")] + L[#text("versione scambiata")] = z(L[#text("due cerchi")] + L[#text("due fili")])$
+
+  #pause
+
+  Sapendo che:
+  - $L[#text("due cerchi")] = delta = (a + a^(-1))/z - 1$
+  - $L[#text("due fili")] = a + a^(-1)$
+
+  #pause
+
+  Otteniamo:
+  $L[#text("Hopf")] = -(a + a^(-1))z^(-1) + 1 + (a + a^(-1))z$
+
+  #pause
+
+  Questi calcoli suggeriscono che $L_K$ esiste, ma serve una dimostrazione rigorosa!
+]
+
+== La Sfida della Buona Definizione
+
+#slide[
+  *Problema centrale:* Gli assiomi definiscono $L_K$ in modo unico?
+
+  #pause
+
+  *Sfide:*
+  1. Gli assiomi sono *impliciti* (relazioni, non formule)
+  2. Come garantire che esista una soluzione?
+  3. Come garantire l'unicità?
+  4. Come verificare l'indipendenza dalle scelte computazionali?
+
+  #pause
+
+  *Scelte che potrebbero influenzare il risultato:*
+  - Scelta del punto base $p$ su ogni componente
+  - Direzione del punto base (orario vs antiorario)
+  - Ordine delle operazioni nelle sequenze
+
+  #pause
+
+  #align(center)[
+    #box(fill: red.lighten(80%), inset: 1em, radius: 5pt)[
+      *Senza questa dimostrazione, $L_K$ non sarebbe ben definito!*
+    ]
+  ]
+]
+
+== Ingredienti per la Costruzione
+
+#slide[
+  *Concetti chiave necessari:*
+
+  1. *Nodo banale standard*: $hat(K)(cal(U), p)$
+    - Percorrere l'ombra planare da un punto base $p$
+    - Primo passaggio su ogni incrocio = sopra-incrocio
+
+  #pause
+
+  2. *Operazioni sui diagrammi*:
+    - $S_i K$: scambia l'incrocio $i$
+    - $E_i K$, $e_i K$: splice orizzontale e verticale
+
+  #pause
+
+  3. *Sequenze di scambi*: $lambda = (lambda_n, dots, lambda_0)$
+    - Trasformano $K$ in $hat(K)(lambda)$
+
+  #pause
+
+  *Proprietà fondamentale:* $L[hat(K)] = a^(w(hat(K)))$
+]
+
+== La Formula Ricorsiva
+
+#slide[
+  *Idea*: Esprimere $L_K$ in termini di diagrammi "più semplici"
+
+  Applicando le relazioni skein incrementalmente:
+  $
+    L[K] + L[S_0 K]                   &= z(L[E_0 K] + L[e_0 K]) \
+    L[S_0 K] + L[S_1 S_0 K]           &= z(L[E_1 S_0 K] + L[e_1 S_0 K]) \
+                                      &dots.v \
+    L[S_(n-1) dots S_0 K] + L[hat(K)] &= z(L[E_n S_(n-1) dots S_0 K] + L[e_n S_(n-1) dots S_0 K])
+  $
+
+  #pause
+
+  Sommando e sottraendo membro a membro, i termini intermedi si cancellano!
+
+  #pause
+
+  *Formula finale:*
+  $L_K = (-1)^(n+1) L_(hat(K)) + z sum_(i=0)^n (-1)^i (L[A_i^lambda K] + L[B_i^lambda K])$
+]
+
+== Definizione Induttiva Completa
+
+#slide[
+  *Caso 1:* $K = hat(K)$ (nodo banale standard)
+  $L_K = a^(w(K))$
+
+  #pause
+
+  *Caso 2:* $K = K_1 union K_2$ con $K_1$ sovrastante $K_2$
+  $L_K = delta L_(K_1) L_(K_2)$ dove $delta = (a + a^(-1))/z - 1$
+
+  #pause
+
+  *Caso 3:* Uso della formula ricorsiva:
+  $L_K = 1/2 [sum_(q = p, overline(p)) ((-1)^(abs(lambda(q))+1) L_(hat(K)(q)) + z sum_K (lambda(q)))]$
+
+  #pause
+
+  *Proprietà cruciale:* Ogni termine a destra ha meno incroci o è "più vicino" al caso base
+]
+
+== Strategia della Dimostrazione
+
+#slide[
+  *Ipotesi induttiva* (per diagrammi con $< N$ incroci):
+
+  1. $L_K$ è ben definito (indipendente dalle scelte)
+  2. $L_K$ verifica tutte le relazioni skein
+  3. $L_K$ è invariante per mosse II e III che non aumentano gli incroci
+
+  #pause
+
+  *Lemmi tecnici fondamentali:*
+
+  - *Lemma delle Rotazioni*: L'ordine ciclico degli scambi non influenza il risultato
+  - *Invarianza del punto base*: La definizione non dipende dal punto base scelto
+  - *Identità per nodi banali*: $L[hat(K)(p)] + L[hat(K)(q)] = z(L[E_i hat(K)] + L[e_i hat(K)])$
+
+  #pause
+
+  *Metodo:* Spostando il punto base di un incrocio per volta, si dimostra l'invarianza completa
+]
+
+== Verifica degli Assiomi e Invarianza
+
+#slide[
+  *Teorema*: La definizione induttiva soddisfa tutti gli assiomi di Kauffman
+
+  #pause
+
+  *Dimostrazione per le relazioni skein*:
+  1. Scegli il punto base in modo che l'incrocio sia il primo nella sequenza
+  2. La relazione skein emerge naturalmente dalla formula ricorsiva
+  3. Gli altri termini si cancellano per simmetria
+
+  #pause
+
+  *Invarianza per isotopia regolare*:
+  - *Mossa II*: scegli punti base che evitano gli incroci coinvolti
+  - *Mossa III*: usa equivalenze locali e induzione
+
+  #pause
+
+  #align(center)[
+    La costruzione induttiva "conosce automaticamente" tutte le proprietà necessarie!
+  ]
+]
+
+= Risultati e Applicazioni
+
+== Il Risultato Principale
+
+#slide[
+  *Teorema*: Esiste ed è unico un invariante $L_K (a,z)$ che soddisfa gli assiomi di Kauffman.
+
+  #pause
+
+  *Dimostrazione completa*:
+  1. *Esistenza*: La costruzione induttiva fornisce una definizione esplicita
+  2. *Buona definizione*: Indipendenza dalle scelte arbitrarie
+  3. *Verifica assiomi*: La definizione soddisfa tutte le relazioni richieste
+  4. *Unicità*: Gli assiomi determinano univocamente i valori
+
+  #pause
+
+  *Conseguenza*: Il polinomio di Kauffman è un invariante completo e computabile per l'isotopia regolare
+
+  #pause
+
+  #align(center)[
+    #box(fill: green.lighten(80%), inset: 1em, radius: 5pt)[
+      *La teoria è ora su basi solide!*
+    ]
+  ]
+]
+
+== Dal Regolare all'Ambiente: Il Polinomio $F_K$
+
+#slide[
+  Usando la formula di correzione:
+  $F_K = a^(-w(K)) L_K$
+
+  #pause
+
+  *Teorema*: $F_K (a,z)$ è un invariante di isotopia ambiente.
+
+  #pause
+
+  *Significato*:
+  - Partendo da un invariante regolare ($L_K$)
+  - Aggiungiamo la correzione del writhe
+  - Otteniamo un vero invariante di nodi!
+
+  #pause
+
+  *Proprietà*:
+  - $F_(m(K))(a,z) = F_K(1/a, z)$ (comportamento rispetto al mirror)
+  - $F[K_1 hash K_2] = F[K_1] F[K_2]$ (moltiplicatività per somma connessa)
+  - $F_K$ distingue nodi che $L_K$ non può distinguere
+]
+
+== Implementazione e Verifica
+
+#slide[
+  *Progetto Computazionale:*
+
+  - *Implementazione in Python*: Algoritmo basato sulle relazioni skein
+  - *Calcolo automatico* di $L_K$ e $F_K$ per diagrammi di nodi
+  - *Interfaccia user-friendly* per l'inserimento di diagrammi
+
+  #pause
+
+  *Verifica sperimentale:*
+  - Confronto con il database *KnotInfo*
+  - Verifica su centinaia di nodi noti
+  - Test di coerenza con valori pubblicati
+
+  #pause
+
+  *Scoperta interessante:* Trovato un *errore* nel valore pubblicato per il nodo $10_125$!
+
+  #pause
+
+  #align(center)[
+    La teoria e l'implementazione si confermano a vicenda
+  ]
+]
+
+== Conclusioni
+
+#slide[
+  *Percorso compiuto:*
+  1. Dal concetto geometrico di nodo alla formalizzazione tramite diagrammi
+  2. Definizione dell'isotopia regolare e degli invarianti
+  3. Costruzione rigorosa del polinomio di Kauffman
+  4. Dimostrazione della buona definizione
+  5. Estensione agli invarianti di isotopia ambiente
+
+  #pause
+
+  *Risultati principali:*
+  - *Dimostrazione* della buona definizione di $L_K$
+  - *Costruzione* di $F_K$ come invariante ambiente
+  - *Verifica computazionale* e scoperta di errori nella letteratura
+
+  #pause
+
+  #align(center)[
+    #text(size: 1.2em, weight: "bold")[
+      Grazie per l'attenzione!
+    ]
+  ]
+
+  *Domande?*
+]

src/presentation/theme.typ

@@ -0,0 +1,273 @@
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+
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+
+      body
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+
+  body
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src/refs.bib

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   year      = {1977},
   publisher = {Springer New York}
 }
+
+@book{lickorish1997introduction,
+  title     = {An Introduction to Knot Theory},
+  author    = {Lickorish, W.B.R.},
+  isbn      = {9780387982540},
+  lccn      = {97016660},
+  series    = {Graduate Texts in Mathematics},
+  year      = {1997},
+  publisher = {Springer New York}
+}

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     X_OFFSET=$(( i * TILE_WIDTH ))
     TEMP_FILE="_temp_${i}.png"
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+
+    echo "Generating tile $i: $OUTPUT_FILE"
     
     magick "$INPUT_IMAGE" -crop "${TILE_WIDTH}x${TILE_HEIGHT}+${X_OFFSET}+0" +repage "$TEMP_FILE"
     

src/theme.typ

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   show raw.where(block: true): it => block(outset: (x: 2pt, y: 3pt), fill: luma(92%), radius: 4pt, inset: 4pt, it)
 
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+  set std.bibliography(style: "ieee", title: none, full: true)
 
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+
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+              ..counter(heading).get().slice(0, 1).map(it => str(it)),
+              numbering(it.numbering, ..it.counter.at(it.location())),
+            ).join(".") ]
+        }
+
+        if it.supplement != none {
+          [ -- ]
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+        }
+
         [.]
       })
       [ ]
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     block({
       strong({
         it.supplement
+        if it.numbering != none {
+          [ ]
+          // current chapter and section
+
+          [#(
+              ..counter(heading).get().slice(0, 1).map(it => str(it)),
+              numbering(it.numbering, ..it.counter.at(it.location())),
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+        }
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+        if it.numbering != none {
+          [ ]
+          // current chapter and section
+
+          [#(
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+
   show figure.where(kind: "proposition"): it => {
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     block({
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   show ref: it => {
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       let el = it.element
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+      if el.func() == figure {
         link(el.location(), {
-          if it.supplement != auto { it.supplement } else { el.supplement }
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   }
 
+  // Highlight ref
   // show ref: it => {
-  //   set text(fill: white)
-  //   box(fill: red, outset: (y: 0.5em), it)
+  //   set text(fill: red.mix(black))
+  //   box(fill: red.mix(white), outset: (y: 0.5em), it)
   // }
 
   // First thesis page