notes/Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/sections/0-notazioni.tex

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\chapter*{Notazioni impiegate}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Notazioni impiegate}  
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\begin{multicols*}{2}
    \section*{Algebra lineare}
    \addcontentsline{toc}{section}{Algebra lineare}

    \begin{itemize}
        \item $q_\varphi$ -- dato uno spazio vettoriale $V$ equipaggiato con un
        prodotto scalare $\varphi$, $q_\varphi$ è la forma quadratica associatogli, ovverosia
        $q_\varphi(v) = \varphi(v, v)$.
        \item $\norm{v}_{\varphi}$ -- dato uno spazio vettoriale reale $V$ equipaggiato con
        un prodotto scalare (semi)definito positivo $\varphi$, $\norm{\cdot}_{\varphi}$ è
        la (semi)norma indotta da $\varphi$, ovverosia $\norm{v}_{\varphi} = \sqrt{q_{\varphi}(v)} = \sqrt{\varphi(v, v)}$.
        \item vettore isotropo --
        vettore che annulla la forma quadratica.
        \item vettore anisotropo -- vettore non isotropo, vettore che non annulla la forma quadratica.
        \item $\cos_\varphi(v, w)$, $\cos(v, w)$ -- dati due vettori anisotropi $v$, $w$ su uno spazio vettoriale reale $V$ equipaggiato
        di un prodotto scalare semidefinito positivo $\varphi$, si definisce
        $\cos_\varphi(v, w)$ (o $\cos(v, w)$ se $\varphi$ è noto dal contesto) in modo tale che:
        \[
            \cos_\varphi(v, w) = \frac{\varphi(v, w)}{\norm{v}_\varphi \cdot \norm{w}_\varphi}.
        \]
        \item vettore $v$ ortogonale a $w$ per $\varphi$ -- Due vettori $v$, $w$ tali
        per cui $\varphi(v, w) = 0$.
        \item $V^\perp_{\varphi}$ -- Radicale del prodotto scalare (o hermitiano) $\varphi$
        sullo spazio $V$, ovverosia sottospazio dei vettori ortogonali ai vettori di tutto
        lo spazio.
        \item $\CI(\varphi)$ -- Sottoinsieme dei vettori di $V$ che annullano $q_{\varphi}$, ossia
        sottoinsieme dei vettori isotropi.
        \item $C_{\varphi}(v, w)$ -- coefficiente di Fourier di
        $v$ rispetto a $w$, ossia $C(v, w) \defeq \frac{\varphi(v, w)}{\varphi(v, v)}$.
    \end{itemize}

    \section*{Analisi matematica}
    \addcontentsline{toc}{section}{Analisi matematica}

    \begin{itemize}
        \item $f(A_i) \goesup x$ -- la successione $(f(A_i))_{i \in \NN}$ a valori
        in $\RR$ è crescente al crescere di $i$ e ha come limite $x$.
        \item $f(A_i) \goesdown x$ -- la successione $(f(A_i))_{i \in \NN}$ a valori
        in $\RR$ è decrescente al crescere di $i$ e ha come limite $x$.
        \item esponente coniugato di $p$ -- per $p > 1$, l'esponente coniugato
        $p'$ di $p$ è un numero reale $p' > 1$ tale per cui:
        \[
            \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} = 1.
        \]
        \item $\norm{x}_p$ -- norma $p$-esima del vettore $x \in \RR^n$, ovverosia:
        \[
            \norm{x}_p = \left(\sum_{i \in [n]} \abs{x_i}^p\right)^\frac{1}{p}.
        \]
        Per $p = 2$, si scrive semplicemente $\norm{x}$, e coincide con la norma
        indotta dal prodotto scalare canonico di $\RR^n$.
        \item $f > g$ -- per una funzione $f$ a valori reali, come affermazione
        corrisponde a dire che per un qualsiasi punto del dominio $x$, $f(x) > g(x)$. Si estende naturalmente a $<$, $\geq$, $\leq$ (eventualmente con
        catene di disuguaglianze). Da non
        confondersi con l'insieme $f > g$.
        \item $a$ -- per una costante $a \in \RR$ la mappa costante $D \ni d \mapsto a \in \RR$;
        la sua interpretazione dipende dal contesto.
        \item $f^+$ -- parte positiva di una mappa $f$ a valori reali, ovverosia
        $f^+(a)$ è uguale a $f(a)$ se $f(a) \geq 0$ e $0$ altrimenti.
        \item $f^-$ -- parte negativa di una mappa $f$ a valori reali, ovverosia
        $f^-(a)$ è uguale a $-f(a)$ se $f(a) \leq 0$ e $0$ altrimenti. In questo
        modo $f = f^+ - f^-$.
        \item $\exp$ -- funzione esponenziale $e^x$.
        \item $\log \equiv \ln = \log_e$ -- logaritmo naturale, ossia logaritmo in base $e$.
        \item $C^n$, $C^n(\RR)$ -- classe delle funzioni derivabili $n$ volte con $n$-esima derivata continua. Per $n = 0$, classe di funzioni continue.
        \item $C^\infty$ -- classe delle funzioni derivabili un numero illimitato di volte.
        \item $C_b$, $C_b(\RR)$ -- classe delle funzioni reali, continue e limitate.
        \item $\Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t} \dt$ -- funzione gamma. È tale per cui $\Gamma(n+1) = n!$ per ogni $n \in \NN$.
        \item $f * g$ -- convoluzione di funzioni; tale che $(f * g)(z)$ sia pari a $\int_\RR f(x) g(z-x) \dx$.
    \end{itemize}

    \section*{Combinatoria}
    \addcontentsline{toc}{section}{Combinatoria}

    \begin{itemize}
        \item $D_{n,k} = \frac{n!}{(n-k)!}$ -- numero di disposizioni ottenute prendendo
        $k$ elementi tra $n$ oggetti.
        \item $\binom{n}{k} = C_{n,k}$ -- il coefficiente binomiale $n$ su $k$,
        ovverosia il numero di combinazioni possibili prendendo $k$ elementi tra $n$ oggetti; equivale a $\frac{n!}{(n-k)!k!} = D_{n,k}/k!$. Alternativamente,
        il numero di sottoinsiemi di $k$ elementi in $[n]$.
        \item $S(I)$ -- gruppo simmetrico relativo a $I$, gruppo delle permutazioni
        di $I$.
        \item $S_n$ -- $n$-esimo gruppo simmetrico, gruppo delle permutazioni
        di $[n]$.
    \end{itemize}

    \section*{Teoria degli insiemi}
    \addcontentsline{toc}{section}{Teoria degli insiemi}

    \begin{itemize}
        \item $\PP(\Omega)$ -- insieme delle parti di $\Omega$, ossia insieme
        dei sottoinsiemi di $\Omega$.
        \item $\restr{f}{A}$ -- restrizione della funzione al dominio $A$.
        \item $A \cupdot B$ -- unione disgiunta di $A$ e $B$, ovverosia $A \cup B$ con
        l'ipotesi che $A \cap B = \emptyset$ (la notazione si estende naturalmente a
        una famiglia di insiemi a due a due disgiunti).
        \item $A \Delta B = A \setminus B \cupdot B \setminus A$ -- differenza simmetrica
        tra $A$ e $B$.
        \item $[n]$ -- l'insieme $\{1, \ldots, n\}$.
        \item $\prod_{i \in I} S_i$ con $S_i$ insieme e $I$ ordinato -- prodotto cartesiano degli $S_i$, ordinato secondo $I$.
        \item $[[n]]$ -- l'insieme $\{0, \ldots, n\} = \{0\} \cup [n]$. 
        \item $\#A$, $\abs{A}$ -- numero di elementi di $A$, o semplicemente la cardinalità di $A$.
        \item insieme finito -- insieme in bigezione con $[n]$ per qualche $n \in \NN$.
        \item insieme numerabile -- insieme in bigezione con $\NN$.
        \item $A_i \goesup A$ -- la famiglia $(A_i)_{i \in \NN}$ è crescente e ha
        come limite $A$, ovverosia $A_i \subseteq A_{i+1}$ per ogni $i \in \NN$ e
        $\bigcup_{i \in \NN} A_i = A$.
        \item $A_i \goesdown A$ -- la famiglia $(A_i)_{i \in \NN}$ è decrescente e ha
        come limite $A$, ovverosia $A_i \supseteq A_{i+1}$ per ogni $i \in \NN$ e
        $\bigcap_{i \in \NN} A_i = A$.
        \item $\omega_i$ -- $i$-esima coordinata di $\omega \in \Omega$, se
        $\Omega$ è un prodotto cartesiano di finiti termini o di un numero
        numerabile di termini.
        \item $A^1 \defeq A$ -- useremo questa notazione per comodità.
        \item $A^c$ -- il complementare di $A$ riferito a $\Omega$, quindi $\Omega \setminus A$, in modo tale che $\Omega = A \cupdot A^c$.
        \item $X\inv(A)$ -- controimmagine dell'insieme $A \subseteq C$ in riferimento
        alla funzione $X : D \to C$, ovverosia $X\inv(A) = \{\omega \in D \mid X(\omega) \in A\}$.
        \item $S_X$, $\im X$ -- immagine della funzione $X$.
        \item $\supp X$ -- supporto di $X$, ovverosia sottoinsieme del
        dominio degli elementi che non annullano $X$.
        \item $1_A$, $I_A$ -- funzione indicatrice di $A$, ovverosia la
        funzione $1_A : B \to [[1]] \subseteq \RR$ riferita ad $A \subseteq B$
        tale per cui:
        \[
            1_A(b) = \begin{cases}
                1 & \text{se } b \in A, \\
                0 & \text{altrimenti}.
            \end{cases}
        \]
        \item $1_{\texttt{exp}}$ -- $1$ se $\texttt{exp}$ è vera, $0$ altrimenti.
        \item $\groupto$ -- simbolo utilizzato al posto $\to$ quando si elencano
        più funzioni che condividono o lo stesso dominio o lo stesso codominio (e.g.~$f$, $g : A$, $B \groupto C$ elenca una funzione $f : A \to C$ e una $g : B \to C$; $f$, $g : A \groupto B$, $C$ elenca una funzione
        $f : A \to B$ e una $g : A \to C$).
    \end{itemize}

    \section*{Topologia generale}
    \addcontentsline{toc}{section}{Topologia generale}

    \begin{itemize}
        \item $\tau(X)$ -- dato $X$ spazio metrico, insieme degli aperti di $X$, ossia topologia di $X$.
        \item spazio separabile -- spazio topologico contenente un denso, ossia un insieme la cui chiusura è tutto lo spazio (e.g.~$\QQ$ per $\RR$).
        \item spazio II-numerabile -- spazio topologico che ammette una base numerabile.
    \end{itemize}

    \section*{Probabilità e teoria della misura}
    \addcontentsline{toc}{section}{Probabilità e teoria della misura}

    \begin{itemize}
        \item $\Omega$ -- spazio campionario, l'insieme di tutti i possibili esiti dell'esperimento aleatorio considerato.
        \item $\sigma(\tau)$ -- $\sigma$-algebra generata dalla famiglia $\tau \subseteq \PP(\Omega)$.
        \item $\sigma\{A_1, \ldots, A_n\}$ -- $\sigma$-algebra generata dalla famiglia
        $\tau = \{A_1, \ldots, A_n\} \subseteq \PP(\Omega)$.
        \item $\BB(X)$ -- $\sigma$-algebra dei boreliani, ossia $\sigma$-algebra generata dagli aperti di $X$ spazio metrico separabile.
        \item $\FF$ -- $\sigma$-algebra relativa a $\Omega$, ossia l'insieme dei possibili eventi.
        \item $(\Omega, \FF)$ -- spazio misurabile.
        \item $\pi$-sistema -- insieme $I \subseteq \FF$, $I \neq \emptyset$ con $(\Omega, \FF)$ spazio misurabile, $\sigma(I) = \FF$ e $I$ chiuso per intersezioni.
        \item $\mu$ -- misura su uno spazio misurabile.
        \item $m$ -- misura di Lebesgue sullo spazio misurabile $(\RR, \BB(\RR))$. È tale per cui $m([a, b]) = b-a$ per $b > a$.
        \item $m$ -- misura di Lebesgue sullo spazio misurabile $\left(\RR^d, \BB\left(\RR^d\right)\right)$ con $d \geq 1$. È tale per cui
        $m\left([a_1, b_1] \times \cdots \times [a_d, b_d]\right) = (b_1 - a_1) \cdots (b_d - a_d)$ con $a_i$, $b_i \in \RR$ e
        $b_i > a_i$ per $1 \leq i \leq d$. Non si distingue generalmente la notazione dal caso unidimensionale.
        \item $P$ -- misura di probabilità su uno spazio misurabile.
        \item $(\Omega, \FF, P)$ -- spazio di probabilità.
        \item \qc -- quasi certo/quasi certamente.
        \item \qo -- quasi ovunque.
        \item $p$ -- per $\Omega$ discreto, funzione di densità discreta; per una probabilità discreta $P$, la densità discreta della probabilità
        ristretta all'insieme $\Omega_0$ su cui è concentrata $P$ o, con abuso di notazione, la mappa $x \mapsto P(\{x\})$ (che coincide
        sui termini di $\Omega_0$ con $p$ e che è $0$ negli altri punti).
        \item $\delta_a$ -- delta di Dirac; dato uno spazio misurabile $(\Omega, \FF)$ e $a \in \Omega$, probabilità tale per cui
        $\delta_a(A) = 1$ se $a \in A$ e $0$ altrimenti (tale probabilità è concentrata in $\{a\}$ ed è dunque
        discreta).
        \item f.d.r.~-- funzione di ripartizione, rispetto a una probabilità reale.
        \item $F$, $F_P$ -- per una probabilità reale, funzione di ripartizione.
        \item $f$ -- densità (in senso reale) della probabilità.
        \item AC -- assolutamente continua, riferito a una probabilità.
        \item \va -- variabile aleatoria.
        \item $P^X$ -- legge della v.a.~$X$ rispetto a $P$.
        \item $p_X$ -- densità della legge della v.a.~$X$, rispetto a $P$.
        \item $X \in A$ -- per una \va $X : \Omega \to S$,
        $X \in A$ è l'insieme $X\inv(A)$. Si estende naturalmente
        al caso $\notin$.
        \item $X = a$ -- per una \va $X : \Omega \to S$,
        $X = a$ è l'insieme $X\inv(a)$. Si estende naturalmente
        al caso $\neq$.
        \item $X = Y$ -- per due \va $X, Y : \Omega \groupto S$
        l'insieme $\{ \omega \in \Omega \mid X(\omega) = Y(\omega) \}$.
        Si estende naturalmente al caso $\neq$ e in modo analogo a $>$, $<$, $\leq$, $\geq$.
        \item $X > a$ -- per una \va reale $X : \Omega \to \RR$,
        $X > a$ è l'insieme $X\inv((a, \infty))$; per una \va discreta
        $X : \Omega \to \RR$ è l'insieme $X\inv(\{m \in \NN \mid m > a\})$.
        Si estende naturalmente ai casi $<$, $\leq$, $\geq$ (eventualmente
        anche con una catena di disuguaglianze). Da non confondersi con
        l'affermazione $X > a$ per $X$ a valori reali.
        \item $\varphi(X)$ -- per una \va, la composizione $\varphi \circ X$.
        \item $\deq$, $\sim$ -- per due v.a.~$X, Y : \Omega_1, \Omega_2 \groupto S$
        indica l'uguaglianza di legge, ovverosia $P_{\Omega_1}^X = P_{\Omega_2}^Y$.
        \item i.d.~-- identicamente distribuite; utilizzato in relazione a un gruppo
        di v.a.~che condividono la stessa legge (spesso rispetto a uno stesso $\Omega$).
        \item i.i.d.~-- indipendenti e identicamente distribuite; utilizzato in relazione
        a un gruppo di v.a.~indipendenti che condividono la stessa legge (spesso rispetto
        a uno stesso $\Omega$).
        \item $(X_i)_{i \in I}$ -- famiglia di v.a., oppure v.a.~congiunta.
        \item $(X_1, \ldots, X_n)$ -- per una famiglia $(X_i : \Omega \to S_i)_{i \in [n]}$ di
        v.a.~indica la v.a.~congiunta (multivariata) $(X_1, \ldots, X_n) : \Omega \to \prod_{i \in [n]} S_i$, $\omega \mapsto (X_1(\omega), \ldots, X_n(\omega))$. Se la
        famiglia è composta da due variabili, si dice anche \textit{coppia bivariata}.
        \item $P(A, B) \defeq P(A \cap B)$ -- notazione introdotta per scrivere
        più comodamente $P(X = x, Y = y)$ in luogo di $P((X = x) \cap (Y = y))$. Si
        generalizza in modo naturale a più eventi.
        \item $L(A, B) \defeq \frac{P(A \mid B)}{P(A)}$ -- rapporto di influenza tra
        $A$ e $B$.
        \item $\bigotimes_{i \in [n]} P_i = P_1 \otimes \cdots \otimes P_n$ --
        Date $P_i$ probabilità su $S_i$ discreto, $P_1 \otimes \cdots \otimes P_n \defeq P$ è la misura di probabilità naturale su $\prod_{i \in [n]} S_i$ tale per cui
        le proiezioni $\pi_i$ siano v.a.~discrete indipendenti e per cui
        $P(\pi_i = x_i) = p_i(x_i)$ per ogni $x_i \in S_i$, $i \in [n]$.
        \item $\EE[X]$ -- valore atteso di $X$.
        \item $\EE[X \mid A] = \defeq \frac{\EE[X \cdot 1_A]}{P(A)}$ -- valore atteso di $X$
        condizionato a $A$.
        \item $\Cov(X, Y) \defeq \EE[(X - \EE[X])(Y - \EE[Y])]$ -- covarianza di $X$ e $Y$.
        \item $\Var(X) \defeq \Cov(X, X)$ -- varianza di $X$.
        \item $\sigma(X) \defeq \sqrt{\Var(X)}$ -- deviazione standard di $X$.
        \item $\rho(X, Y)$ -- coefficiente
        di correlazione di Pearson, ovverosia
        $\cos_{\Cov}(X, Y) = \frac{\Cov(X, Y)}{\sigma(X) \cdot \sigma(Y)}$.
        \item $a^*$, $b^*$ -- date due
        v.a.~$X$, $Y$, $a^*$ e $b^*$ sono
        i parametri della retta di
        regressione $y = a^*x + b^*$.
        \item $I(t)$ -- trasformata di Cramer.
        \item LGN - Legge dei Grandi Numeri.
        \item TCL, TLC - Teorema Centrale del Limite (o Teorema del Limite Centrale).
        \item $\overline{X}$, $\overline{X_n}$ -- media delle v.a.~$X_1$, ..., $X_n$, ovverosia $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$.
        \item $m$, $\sigma$ -- spesso nel contesto
        della LGN e del TCL si usa $m$ per
        indicare $\EE[X_1]$ e $\sigma$ per
        indicare $\sigma(X_1)$.
        \item $Z$, $Z_1$ -- normale standard $N(0, 1)$-
        \item $Z_\sigma$ -- normale $N(0, \sigma^2)$.
    \end{itemize}

    \section*{Statistica inferenziale}
    \addcontentsline{toc}{section}{Statistica inferenziale}

    \begin{itemize}
        \item $x_1$, ..., $x_n$ -- dati statistici.
        \item $\overline{x}$, $\overline{x_n}$ -- media campionaria dei dati $x_1$, ..., $x_n$, ovverosia $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$.
        \item $\overline{X}$, $\overline{X_n}$ -- media campionaria delle v.a.~$X_1$, ..., $X_n$, ovverosia $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$.
        \item $m_x$ -- mediana campionaria sui dati $x_1$, ..., $x_n$, ovverosia $x_{\nicefrac{n+1}{2}}$ se $n$ è dispari, oppure
        $\nicefrac{\left(x_{\nicefrac{n}{2}} + x_{\nicefrac{(n+2)}{2}}\right)}{2}$ se $n$ è pari.
        \item $s^2$, $s^2_x$, $\sigma_x^2$ -- varianza campionaria \textit{corretta}, ovverosia $\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2$; da
        non confondersi con l'usuale varianza, che è invece $\frac{n-1}{n} s^2$.
        \item $S^2$ -- varianza campionaria \textit{corretta} nelle v.a. $X_i$, ovverosia $\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$.
        \item $r$ -- coefficiente di correlazione campionaria, ovverosia $\frac{\sum_{i=1}^n \left(x_i - \overline{x}\right)\left(y_i - \overline{y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^n \left(x_i - \overline{x}\right)^2 \cdot \sum_{i=1}^n \left(y_i - \overline{y}\right)^2}}$.
        \item $(S, \cS)$ -- spazio misurabile relativa alla statistica di studio.
        \item $\Theta$ -- insieme dei possibili parametri per la distribuzione di probabilità sui dati $x_1$, ..., $x_n$.
        \item $Q_\theta$ -- probabilità ottenuta utilizzando il parametro $\theta \in \Theta$.
        \item $(S, \cS, (Q_\theta)_{\theta \in \Theta})$ -- modello statistico (parametrico).
        \item $\EE^\theta$ -- valore atteso relativo a $Q_\theta$.
        \item $\Var^\theta$ -- varianza relativa a $Q_\theta$.
        \item $R_\sigma(U)$ -- rischio quadratico dello stimatore $U$ di $h : \Theta \to \RR$ relativamente a $Q_\theta$, ovverosia $\EE[(U - h(\theta))^2]$. Pari a
        a $\Var^\theta(U)$ se $U$ è uno stimatore corretto.
        \item $m_\theta$ -- se $Q_\theta$ è discreta, densità discreta $q_\theta$ (o $p_\theta$); se $Q_\theta$ è assolutamente continua,
        funzione di densità $f_\theta$.
        \item $L$, $L_\theta$, $L_\theta(x_1, \ldots, x_n)$ -- funzione di verosomiglianza, ovverosia $L : \Theta \times \RR^n$ che
        associa $(\theta, (x_i))$ a $L_\theta(x_1, \ldots, x_n) = \prod_i m_\theta(x_i)$.
        \item $L_U$, $L_U(X_1, \ldots, X_n)$ -- si intende $L_{U(\omega)}(X_1(\omega), \ldots, X_n(\omega))$, per un dato $\omega \in S$.
    \end{itemize}
\end{multicols*}