levels

2023-04-03 19:51:27 +02:00
parent f636a8d833
commit 68606aab99
41 changed files with 579 additions and 407 deletions
@@ -54,4 +54,6 @@ Statement Set.mem_univ "" {A : Type} (x : A) : x ∈ (univ : Set A) := by
  **Du**: Also das ist ja dann `trivial`. Hoffentlich sehen die das hier auch so…"
  trivial

+LemmaTab "Set"
+
 Conclusion "**Mengea**: Ja das stimmt schon. Dann wünsche ich euch viel Erfolg auf eurer Reise!"
@@ -27,6 +27,7 @@ Statement Set.not_mem_empty "" {A : Type} (x : A) :
  tauto

 NewLemma Set.mem_univ
+LemmaTab "Set"

 Conclusion "Der Junge rennt weiter.

@@ -31,7 +31,7 @@ namespace MySet

 open Set

-Statement (A : Set ℕ) : A ⊆ univ := by
+Statement Set.subset_univ (A : Set ℕ) : A ⊆ univ := by
  Hint "**Robo**: `A ⊆ B` ist als `∀ x, x ∈ A → x ∈ B` definiert.

  **Du**: Also kann ich mit `intro` anfangen, wie ich das bei einem `∀` funktioniert?
@@ -43,6 +43,7 @@ Statement (A : Set ℕ) : A ⊆ univ := by

 DisabledTactic tauto simp
 NewDefinition Symbol.Subset
+LemmaTab "Set"

 Conclusion "Damit drehen sich die beiden Mädchen um und folgen dem Jungen."

@@ -52,4 +52,5 @@ Statement Set.subset_empty_iff {A : Type _} (s : Set A) :
  rw [h]

 DisabledTactic tauto
-NewLemma Set.Subset.antisymm Set.Subset.antisymm_iff Set.empty_subset
+NewLemma Set.Subset.antisymm Set.Subset.antisymm_iff Set.empty_subset Set.subset_univ
+LemmaTab "Set"
@@ -32,3 +32,4 @@ Statement Set.eq_empty_iff_forall_not_mem

 NewTactic constructor intro rw assumption rcases simp tauto trivial
 NewLemma Set.subset_empty_iff
+LemmaTab "Set"
@@ -34,3 +34,4 @@ Statement Set.nonempty_iff_ne_empty

 NewLemma ne_eq Set.eq_empty_iff_forall_not_mem
 NewDefinition Set.Nonempty
+LemmaTab "Set"
@@ -27,3 +27,4 @@ Statement
  simp

 NewTactic constructor intro rw assumption rcases simp tauto trivial
+LemmaTab "Set"
@@ -12,12 +12,12 @@ Title "Schnittmenge und Vereinigung"

 Introduction
 "
-Ansonsten gibt es jegliche Lemmas in
-
-`import Mathlib.Data.Set.Basic`
-
+Ansonsten gibt es jegliche Lemmas in der Mathlib
 die beim Umgang mit diesen Operationen weiterhelfen. Schaue in der Bibliothek auf
 der Seite nach Lemmas, die dir hier weiterhelfen!
+
+Denk daran, die lemma Namen sind blockweise aus der Aussage konstruiert. Ein lemma mit
+der Aussage `C \\ (A ∩ B) + …` wird vermutlich mit `diff_inter_…` anfangen.
 "

 open Set
@@ -26,9 +26,15 @@ Statement
 ""
    (A B : Set ℕ) : univ \ (A ∩ B) = (univ \ A) ∪ (univ \ B) ∪ (A \ B) := by
  rw [diff_inter]
+  Hint (hidden := true) "mit `union_assoc` und `union_diff_distrib` kannst du
+  auf der rechten Seite weiterkommen."
  rw [union_assoc]
  rw [←union_diff_distrib]
  rw [univ_union]

 NewTactic constructor intro rw assumption rcases simp tauto trivial
+DisabledTactic tauto
 NewLemma Set.diff_inter Set.union_assoc Set.union_diff_distrib Set.univ_union
+LemmaTab "Set"
+
+Conclusion "Wie du vielleicht bemerkt hast, könnte `tauto` sowas automatisch lösen."
@@ -16,18 +16,25 @@ sind `not_mem_compl_iff` und `compl_eq_univ_diff`.

 open Set

-#check not_mem_compl_iff
-#check compl_eq_univ_diff
-
 Statement
 ""
    (A : Set ℕ) (h : Aᶜ ⊆ A) : A = univ := by
+  Hint "Start doch mit `apply Subset.antisymm`."
  apply Subset.antisymm
  simp only [subset_univ]
+  Hint "Da `⊆` als `∀x, x ∈ A → x ∈ B ` definiert ist, fängst du
+  am besten mit `intro` an."
  intros x hx
+  Hint "Eine Möglichkeit ist, eine Fallunterscheidung zu machen: `by_cases g: {x} ∈ {A}ᶜ`."
  by_cases h4 : x ∈ Aᶜ
-  exact mem_of_subset_of_mem h h4
-  rw [←not_mem_compl_iff]
-  exact h4
+  Hint "Hier könnte `mem_of_subset_of_mem` hilfreich werden."
+  apply mem_of_subset_of_mem h
+  assumption
+  Hint "Diese Richtung geben wir als Lemma: `not_mem_compl_iff`."
+  rw [not_mem_compl_iff] at h4
+  assumption

 NewTactic constructor intro rw assumption rcases simp tauto trivial
+NewLemma Set.not_mem_compl_iff Set.mem_of_subset_of_mem Set.compl_eq_univ_diff
+DisabledTactic tauto
+LemmaTab "Set"
@@ -43,6 +43,9 @@ open Set

 Statement
    (A B C : Set ℕ) : (A \ B)ᶜ ∩ (C \ B)ᶜ = ((univ \ A) \ C) ∪ (univ \ Bᶜ) := by
+  Hint "Oft kann es auch nützlich sein, mit `rw [← …]` rückwärts umzuschreiben.
+  Der ganze Level ist mit `rw`/`simp_rw` und den Lemmas in deiner Bibliothek
+  lösbar."
  rw [←compl_union]
  rw [←union_diff_distrib]
  rw [diff_diff]
@@ -51,7 +54,8 @@ Statement
  rw [diff_eq_compl_inter]
  rw [inter_comm]

-NewTactic constructor intro rw assumption rcases simp tauto trivial
-
-- TODOs
-- Lemmas compl_union compl_inter mem_compl_iff
+OnlyTactic rw simp_rw tauto trivial assumption rfl «have» «suffices»
+NewTactic simp_rw
+LemmaTab "Set"
+NewLemma Set.mem_compl_iff Set.compl_union Set.diff_diff Set.compl_inter
+  Set.diff_eq_compl_inter Set.inter_comm
@@ -19,18 +19,20 @@ Zudem kann man mit `rw [ssubset_def]` explizit die Definition einsetzen.
 Note: `rw [subset_def]` macht das gleiche für `⊆`.
 "

--open Set
+open Set

 Statement
 ""
    (A B : Set ℕ) (h : A ⊂ B) : ∃ x, x ∈ B \ A := by
  cases' h with h₁ h₂
-  rw [Set.subset_def] at h₂
+  rw [subset_def] at h₂
  rw [not_forall] at h₂
  cases' h₂ with x hx
  use x
  rw [not_imp] at hx
-  rw [Set.mem_diff]
+  rw [mem_diff]
  exact hx

 NewTactic constructor intro rw assumption rcases simp tauto trivial
+NewLemma Set.subset_def Set.ssubset_def not_imp Set.mem_diff
+LemmaTab "Set"
@@ -12,7 +12,7 @@ Introduction
 "
 Nun schauen wir uns konkrete Mengen an. Man schreibt diese mit
 geschweiften Klammern: `{0, 4, 117, 3}`. Meistens muss man
-den Typ explizit angeben, weil lein nicht weiss, ob man mit `Set` (Mengen)
+den Typ explizit angeben, weil Lean nicht weiss, ob man mit `Set` (Mengen)
 oder `Finset` (endliche Mengen) arbeiten möchte: `({4, 9} : Set ℕ)`.

 `Finset` schauen wir uns später an.
@@ -28,8 +28,9 @@ Die folgende Aufgabe ist entsprechend mit `rfl` lösbar.
 open Set

 Statement
-"Die Menge $\\{4, 9\\}}$ ist per Definition \\{4}\\cup\\{9\\}." :
+"Die Menge $\\{4, 9\\}$ ist per Definition $\\{4}\\cup\\{9\\}$." :
    ({4, 9} : Set ℕ) = Set.insert 4 {9} := by
  rfl

-NewTactic constructor intro rw assumption rcases simp tauto trivial
+OnlyTactic rfl
+LemmaTab "Set"
@@ -18,7 +18,7 @@ einfaches Rezept:
 simp_rw [mem_insert_iff, mem_singleton_iff] at *
 ```

-vereinfacht Aussagen der Form `6 ∈ { 0, 6, 1}` zu `(6 = 0) ∨ (6 = 6) ∨ (6 = 1)`,
+vereinfacht Aussagen der Form `6 ∈ {0, 6, 1}` zu `(6 = 0) ∨ (6 = 6) ∨ (6 = 1)`,
 und dann kann `tauto` diese Aussage beweisen.

 Bei `⊆` kann man wie schon vorher zuerst mit `intro x hx` die Definition
@@ -28,12 +28,12 @@ auseinandernehmen und dann gleich vorgehen.

 open Set

-Statement
-"" :
+Statement :
    ({2, 3, 5} : Set ℕ) ⊆ {4, 2, 5, 7, 3} := by
+  Hint "Fang wieder mit `rw [subset_def]` oder direkt mit `intro` an."
  intro x hx
  simp_rw [mem_insert_iff, mem_singleton_iff] at *
  tauto

-NewTactic simp_rw intro tauto rw
--Lemmas Subset.antisymm_iff empty_subset
+NewLemma Set.mem_insert_iff Set.mem_singleton_iff
+LemmaTab "Set"
@@ -25,11 +25,14 @@ dieses Element erfüllt ist.

 open Set

-Statement
-"" :
-    3 ∈ {n : ℕ | Odd n}  := by
+Statement : 3 ∈ {n : ℕ | Odd n}  := by
  rw [mem_setOf]
+  Hint (hidden := true) "**Robo**: Zur Erinnerung, wenn du nicht mehr weisst, wie `Odd` definiert
+  ist, benutze `rw [Odd]`."
+  Branch
+    rw [Odd]
  use 1
  ring

-NewTactic constructor intro rw assumption rcases simp tauto trivial
+NewLemma Set.mem_setOf
+LemmaTab "Set"
@@ -27,14 +27,24 @@ open Set
 Statement
 "" (X Y : Set ℕ):
    𝒫 X ∪ 𝒫 Y ⊆ 𝒫 (X ∪ Y)  := by
+  Hint "**Robo**: Fang mal mit `intro` an, wie das bei `⊆` fast immer der Fall ist."
  intro A hA
+  Hint "**Robo**: Als nächstes must du noch die Annahme `{A} ∈ 𝒫 X ∪ 𝒫 Y` zu
+  `{A} ∈ (𝒫 X) ∨ {A} ∈ (𝒫 Y)` wechseln. Dafür kennst du schon ein Lemma."
  rw [mem_union] at hA
+  Hint "**Robo**: Jetzt wär der Zeitpunkt um `mem_powerset_iff` mal überall anzuwenden."
  simp_rw [mem_powerset_iff] at *
-  rcases hA with hA | hA
-  apply subset_union_of_subset_left
-  assumption
-  apply subset_union_of_subset_right
-  assumption
+  Hint "**Robo**: Jetzt kann `tauto` den rest übernehmen, vielleicht solltest du diese
+  Hilfe annehmen.
+  Wenn nicht, brauchst du vermutlich die Lemmas `Set.subset_union_of_subset_left`
+  und `Set.subset_union_of_subset_right`"
+  Branch
+    rcases hA with hA | hA
+    apply subset_union_of_subset_left
+    assumption
+    apply subset_union_of_subset_right
+    assumption
+  tauto

-
-NewTactic constructor intro rw assumption rcases simp tauto trivial
+NewLemma Set.mem_powerset_iff Set.subset_union_of_subset_left Set.subset_union_of_subset_right
+LemmaTab "Set"
@@ -25,15 +25,23 @@ das gleiche.

 open Set

-Statement
-"" :
+Statement :
    ¬Disjoint ({n : ℤ | ∃ k, n = 2 * k} : Set ℤ) ({3, 5, 6, 9, 11} : Set ℤ) := by
-  unfold Disjoint
-  rw [not_forall] -- why not `push_neg`?
+  Hint "**Robo**: Öffne als erstes mal `Disjoint`."
+  rw [Disjoint]
+  Branch
+    rw [not_forall] -- why not `push_neg`?
+  push_neg
+  Hint "**Robo**: Das sieht jetzt ein bisschen gefürchig aus, aber das ist einfach ein `∃`.
+  Was du jetzt angeben musst, ist eine Menge, die Teilmenge beider Mengen
+  `\{n : ℤ | ∃ k, n = 2 * k}` und `\{3, 5, 6, 9, 11}` ist.
+  "
+  Hint (hidden := true) "**Robo**: Versuch einmal `use \{6}`."
  use {6}
+  Hint "**Robo**: Schau mal wie weit `simp` kommt."
  simp
  use 3
  ring

-
-NewTactic constructor intro rw assumption rcases simp tauto trivial
+NewDefinition Disjoint
+LemmaTab "Set"
@@ -33,5 +33,5 @@ Statement
  rw [hx]
  ring

-
-NewTactic constructor intro rw assumption rcases simp tauto trivial
+NewLemma Set.setOf_or Set.setOf_and Set.mem_inter_iff
+LemmaTab "Set"
@@ -26,6 +26,6 @@ open Set
 Statement
 "" (S : Set ℤ) :
    { x ∈ (S : Set ℤ) | 0 ≤ x} ⊆ S := by
-  library_search
+  simp

-NewTactic constructor intro rw assumption rcases simp tauto trivial
+LemmaTab "Set"
@@ -24,3 +24,4 @@ Statement
  ring

 NewTactic constructor intro rw assumption rcases simp tauto trivial
+LemmaTab "Set"
@@ -23,3 +23,4 @@ Statement
 "" : True := sorry

 NewTactic constructor intro rw assumption rcases simp tauto trivial
+LemmaTab "Set"
@@ -24,3 +24,4 @@ Statement
  ring

 NewTactic constructor intro rw assumption rcases simp tauto trivial
+LemmaTab "Set"