alg1(galois): aggiunge tutti i risultati esposti nel corso di algebra 1

Corsi/Algebra 1/3. Teoria delle estensioni di campo e di Galois/Scheda riassuntiva di Teoria dei campi e di Galois/notes_2023.sty

@@ -0,0 +1,451 @@
+\ProvidesPackage{notes_2023}
+
+\usepackage{amsmath,amssymb}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{amsthm}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{amsopn}
+\usepackage{bookmark}
+\usepackage{faktor}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{mathtools}
+\usepackage{nicefrac}
+\usepackage{stmaryrd}
+\usepackage{marvosym}
+\usepackage{float}
+\usepackage{enumerate}
+\usepackage{scalerel}
+\usepackage{stackengine}
+\usepackage{wasysym}
+
+\usepackage{tikz-cd}
+
+\usepackage{quiver}
+
+\usepackage[italian]{babel}
+
+\usepackage{tabularx}
+
+% Setup preliminari
+\setlength{\extrarowheight}{4pt}
+
+\newcommand{\system}[1]{\begin{cases} #1 \end{cases}}
+
+\newcommand{\wip}{\begin{center}\textit{Questo avviso sta ad indicare che questo documento è ancora una bozza e non è
+            da intendersi né completo, né revisionato.}\end{center}}
+
+\newcommand\hr{\vskip 0.05in \par\vspace{-.5\ht\strutbox}\noindent\hrulefill\par}
+
+% Modalità matematica/fisica
+\newcommand{\SMatrix}[1]{\begin{psmallmatrix}#1\end{psmallmatrix}}
+
+\let\oldvec\vec
+\renewcommand{\vec}[1]{\underline{#1}}
+
+\newcommand{\con}{\text{con }}
+\newcommand{\dove}{\text{dove }}
+\newcommand{\E}{\text{ e }}
+\newcommand{\altrimenti}{\text{altrimenti}}
+\newcommand{\se}{\text{se }}
+\newcommand{\tc}{\text{ t.c. }\!}
+\newcommand{\epari}{\text{ è pari}}
+\newcommand{\edispari}{\text{ è dispari}}
+
+\newcommand{\nl}{\ \\}
+
+\newcommand{\bigmid}{\;\middle\vert\;}
+
+\newcommand{\lemmaref}[1]{\textit{Lemma \ref{#1}}}
+\newcommand{\thref}[1]{\textit{Teorema \ref{#1}}}
+
+\newcommand{\li}[0]{$\blacktriangleright\;\;$}
+
+\newcommand{\tends}[1]{\xrightarrow[\text{$#1$}]{}}
+\newcommand{\tendsto}[1]{\xrightarrow[\text{$x \to #1$}]{}}
+\newcommand{\tendstoy}[1]{\xrightarrow[\text{$y \to #1$}]{}}
+\newcommand{\tendston}[0]{\xrightarrow[\text{$n \to \infty$}]{}}
+
+\setlength\parindent{0pt}
+
+% Principio di induzione e setup dimostrativi.
+\newcommand{\basestep}{\mbox{(\textit{passo base})}\;}
+\newcommand{\inductivestep}{\mbox{(\textit{passo induttivo})}\;}
+
+\newcommand{\rightproof}{\mbox{($\implies$)}\;}
+\newcommand{\leftproof}{\mbox{($\impliedby$)}\;}
+
+% Spesso utilizzati al corso di Fisica 1.
+\newcommand{\dx}{\dot{x}}
+\newcommand{\ddx}{\ddot{x}}
+\newcommand{\dv}{\dot{v}}
+
+\newcommand{\del}{\partial}
+\newcommand{\tendstot}[0]{\xrightarrow[\text{$t \to \infty$}]{}}
+
+\newcommand{\grad}{\vec{\nabla}}
+\DeclareMathOperator{\rot}{rot}
+
+\newcommand{\ihat}{\hat{i}}
+\newcommand{\jhat}{\hat{j}}
+\newcommand{\khat}{\hat{k}}
+
+\newcommand{\der}[1]{\frac{d#1}{dx}}
+\newcommand{\parx}{\frac{\del}{\del x}}
+\newcommand{\pary}{\frac{\del}{\del y}}
+\newcommand{\parz}{\frac{\del}{\del z}}
+
+% Spesso utilizzati al corso di Analisi 1.
+%\newcommand{\liminf}{\lim_{x \to \infty}}
+\newcommand{\liminfty}{\lim_{x \to \infty}}
+\newcommand{\liminftym}{\lim_{x \to -\infty}}
+\newcommand{\liminftyn}{\lim_{n \to \infty}}
+\newcommand{\limzero}{\lim_{x \to 0}}
+\newcommand{\limzerop}{\lim_{x \to 0^+}}
+\newcommand{\limzerom}{\lim_{x \to 0^-}}
+
+\newcommand{\xbar}{\overline{x}}
+\newcommand{\ybar}{\overline{y}}
+\newcommand{\tbar}{\overline{t}}
+\newcommand{\zbar}{\overline{z}}
+\newcommand{\RRbar}{\overline{\RR}}
+
+% Spesso utilizzati al corso di Geometria 2
+
+\newcommand{\PP}{\mathbb{P}}
+\newcommand{\PPGL}{\mathbb{P}\!\GL}
+
+% Spesso utilizzati al corso di Geometria 1.
+
+\DeclareMathOperator{\OO}{O} % gruppo ortogonale
+\DeclareMathOperator{\SOO}{SO} % gruppo ortogonale speciale
+
+\newcommand{\proj}[1]{\Matrix{#1 \\[0.03in] \hline 1}}
+\newcommand{\projT}[1]{\Matrix{#1 & \rvline & 1}^\top}
+
+\newcommand{\cc}{\mathcal{C}}
+
+\let\AA\undefined
+\DeclareMathOperator{\Iso}{Iso}
+\newcommand{\AA}{\mathcal{A}}
+\newcommand{\MM}{\mathcal{M}}
+\newcommand{\KKxn}{\KK[x_1, \ldots, x_n]}
+
+\let\ext\faktor
+\newcommand{\quot}[1]{/{#1}}
+
+\newcommand{\Aa}{\mathcal{A}}
+\newcommand{\Ad}[1]{\mathcal{A}_{#1}}
+\DeclareMathOperator{\An}{\mathcal{A}_n}
+\DeclareMathOperator{\AnK}{\mathcal{A}_n(\KK)}
+\DeclareMathOperator{\Giac}{Giac}
+
+\DeclareMathOperator{\IC}{IC}
+\DeclareMathOperator{\Aff}{Aff}
+\DeclareMathOperator{\Orb}{Orb}
+\DeclareMathOperator{\Stab}{Stab}
+\DeclareMathOperator{\Gr}{Gr}
+\newcommand{\vvec}[1]{\overrightarrow{#1}}
+
+\newcommand{\conj}[1]{\overline{#1}}
+
+\DeclareMathOperator{\PH}{PH}
+\DeclareMathOperator{\PS}{PS}
+
+\let\imm\Im
+\let\Im\undefined
+\DeclareMathOperator{\Im}{Im}
+\DeclareMathOperator{\Rad}{Rad}
+\newcommand{\restr}[2]{
+    #1\arrowvert_{#2}
+}
+
+\newcommand{\innprod}[1]{\langle #1 \rangle}
+
+\newcommand{\zerovecset}{\{\vec 0\}}
+\newcommand{\bigzero}{\mbox{0}}
+\newcommand{\rvline}{\hspace*{-\arraycolsep}\vline\hspace*{-\arraycolsep}}
+
+\newcommand{\Idv}{\operatorname{Id}_V}
+\newcommand{\Idw}{\operatorname{Id}_W}
+\newcommand{\IdV}[1]{\operatorname{Id}_{#1}}
+\DeclareMathOperator{\CI}{CI}
+\DeclareMathOperator{\Bil}{Bil}
+\DeclareMathOperator{\Mult}{Mult}
+\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
+\DeclareMathOperator{\Ann}{Ann}
+\DeclareMathOperator{\adj}{adj}
+\DeclareMathOperator{\Cof}{Cof}
+\DeclareMathOperator{\pr}{pr}
+\DeclareMathOperator{\Sp}{sp}
+
+\newcommand{\dperp}{{\perp\perp}}
+
+\newcommand{\Eigsp}[0]{V_{\lambda}}
+\newcommand{\Gensp}[0]{\widetilde{V_{\lambda}}}
+\newcommand{\eigsp}[1]{V_{\lambda_{#1}}}
+\newcommand{\gensp}[1]{\widetilde{V_{\lambda_{#1}}}}
+\newcommand{\genspC}[1]{\widetilde{V_{#1}}}
+
+\DeclareMathOperator{\val}{val}
+\DeclareMathOperator{\Span}{Span}
+\newcommand{\charpoly}[1]{p_{#1}}
+\newcommand{\charpolyrestr}[2]{p_{#1\arrowvert_#2}\hspace{-1pt}(\lambda)}
+\newcommand{\minpoly}[1]{\varphi_{#1}}
+\newcommand{\valf}{\val_f}
+\newcommand{\valfv}{\val_{f,\V}}
+\newcommand{\e}[1]{\vec{e_{#1}}}
+\newcommand{\V}{\vec{v}}
+\newcommand{\VV}[1]{\vec{v_{#1}}}
+\newcommand{\basisdual}{\dual{\basis}}
+\newcommand{\vecdual}[1]{\vec{\dual{#1}}}
+\newcommand{\vecbidual}[1]{\vec{\bidual{#1}}}
+\newcommand{\NMatrix}[1]{\begin{matrix} #1 \end{matrix}}
+\newcommand{\Matrix}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix}}
+\newcommand{\Vector}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix}}
+
+\DeclareMathOperator{\rg}{rg}
+
+\let\v\undefined
+\newcommand{\v}{\vec{v}}
+\newcommand{\vv}[1]{\vec{v_{#1}}}
+\newcommand{\w}{\vec{w}}
+\newcommand{\U}{\vec{u}}
+\newcommand{\ww}[1]{\vec{w_{#1}}}
+\newcommand{\uu}[1]{\vec{u_{#1}}}
+\newcommand{\x}{\vec{x}}
+\newcommand{\xx}[1]{\vec{x_{#1}}}
+\newcommand{\y}{\vec{y}}
+\newcommand{\yy}[1]{\vec{y_{#1}}}
+
+\newcommand{\mapstoby}[1]{\xmapsto{#1}}
+\newcommand{\oplusperp}{\oplus^\perp}
+
+\newcommand{\tauindis}{\tau_{\text{indis}}}
+\newcommand{\taudis}{\tau_{\text{dis}}}
+
+% Spesso utilizzati durante il corso di Algebra 1
+
+\newcommand{\Det}[1]{\begin{vmatrix}
+        #1
+    \end{vmatrix}}
+\DeclareMathOperator{\disc}{disc}
+\newcommand{\Frob}{\mathcal{F}}
+
+\newcommand{\mono}{\hookrightarrow}
+
+\newcommand{\pev}{\nu_p}
+\newcommand{\exactdiv}{\mathrel\Vert}
+\newcommand{\pset}{\mathcal{P}}
+
+\newcommand{\Dn}{D_n}
+\newcommand{\Sn}{S_n}
+
+\newcommand{\mulgrp}[1]{\left(#1\right)^*}
+
+\newcommand{\ZZmulmod}[1]{\mulgrp{\ZZmod{#1}}}
+
+\newcommand{\bij}{\leftrightarrow}
+\newcommand{\ZZpmod}[1]{\ZZ \quot {\left(#1\right)} \ZZ}
+\newcommand{\ZZmod}[1]{\ZZ \quot #1 \ZZ}
+\newcommand{\cleq}[1]{\overline{#1}}
+
+\newcommand{\rotations}{\mathcal{R}}
+\newcommand{\gen}[1]{\langle #1 \rangle}
+\DeclareMathOperator{\Cl}{Cl}
+
+\newcommand{\actson}{\circlearrowleft}
+\newcommand{\Cyc}[1]{\left<#1\right>}
+
+% Comandi personali.
+
+\newcommand{\card}[1]{\left|#1\right|}
+\newcommand{\nsqrt}[2]{\!\sqrt[#1]{#2}\,}
+\newcommand{\zeroset}{\{0\}}
+\newcommand{\setminuszero}{\setminus \{0\}}
+
+\newenvironment{solution}
+{\textit{Soluzione.}\,}
+
+\theoremstyle{definition}
+
+\let\abstract\undefined
+\let\endabstract\undefined
+
+\newtheorem*{abstract}{Abstract}
+\newtheorem*{algorithm}{Algoritmo}
+\newtheorem*{corollary}{Corollario}
+\newtheorem*{definition}{Definizione}
+\newtheorem*{example}{Esempio}
+\newtheorem{exercise}{Esercizio}
+\newtheorem{lemma}{Lemma}
+\newtheorem*{nlemma}{Lemma}
+\newtheorem*{note}{Nota}
+\newtheorem*{remark}{Osservazione}
+\newtheorem*{proposition}{Proposizione}
+\newtheorem*{summary}{Sommario}
+\newtheorem*{theorem}{Teorema}
+\newtheorem*{scheme}{Schema della dimostrazione}
+
+\newcommand{\basis}{\mathcal{B}}
+\newcommand{\BB}{\mathcal{B}}
+
+\newcommand{\basisC}{\mathcal{B}}
+
+\newcommand{\HH}{\mathbb{H}}
+
+\newcommand{\FFp}[1]{\mathbb{F}_p}
+\newcommand{\FFpx}[1]{\mathbb{F}_p[x]}
+
+\newcommand{\CCx}{\mathbb{C}[x]}
+
+\newcommand{\KK}{\mathbb{K}}
+\newcommand{\KKx}{\mathbb{K}[x]}
+
+\newcommand{\QQx}{\mathbb{Q}[x]}
+\newcommand{\RRx}{\mathbb{R}[x]}
+
+\newcommand{\ZZi}{\mathbb{Z}[i]}
+\newcommand{\ZZp}{\mathbb{Z}_p}
+\newcommand{\ZZpx}{\mathbb{Z}_p[x]}
+\newcommand{\ZZx}{\mathbb{Z}[x]}
+
+\newcommand{\ii}{\mathbf{i}}
+\newcommand{\jj}{\mathbf{j}}
+\newcommand{\kk}{\mathbf{k}}
+
+\newcommand{\bidual}[1]{#1^{**}}
+\newcommand{\dual}[1]{#1^{*}}
+\newcommand{\LL}[2]{\mathcal{L} \left(#1, \, #2\right)} % L(V, W)
+\newcommand{\Ll}{\mathcal{L}}
+
+\newcommand{\nsg}{\triangleleft} % sottogruppo normale proprio
+\newcommand{\nsgeq}{\trianglelefteqslant} % sottogruppo normale
+
+% evan.sty original commands
+\newcommand{\cbrt}[1]{\sqrt[3]{#1}}
+\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}
+\newcommand{\ceiling}[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
+\newcommand{\mailto}[1]{\href{mailto:#1}{\texttt{#1}}}
+\newcommand{\eps}{\varepsilon}
+\newcommand{\vocab}[1]{\textbf{\color{blue}\sffamily #1}}
+\providecommand{\alert}{\vocab}
+\newcommand{\catname}{\mathsf}
+\providecommand{\arc}[1]{\wideparen{#1}}
+
+% From H113 "Introduction to Abstract Algebra" at UC Berkeley
+\newcommand{\CC}{\mathbb C}
+\newcommand{\FF}{\mathbb F}
+\newcommand{\NN}{\mathbb N}
+\newcommand{\QQ}{\mathbb Q}
+\newcommand{\RR}{\mathbb R}
+\newcommand{\ZZ}{\mathbb Z}
+\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
+\DeclareMathOperator{\Inn}{Inn}
+\DeclareMathOperator{\Syl}{Syl}
+\DeclareMathOperator{\Gal}{Gal}
+\DeclareMathOperator{\GL}{GL}
+\DeclareMathOperator{\SL}{SL}
+
+% From Kiran Kedlaya's "Geometry Unbound"
+\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
+\newcommand{\norm}[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}
+\newcommand{\dang}{\measuredangle} %% Directed angle
+\newcommand{\ray}[1]{\overrightarrow{#1}}
+\newcommand{\seg}[1]{\overline{#1}}
+
+% From M275 "Topology" at SJSU
+\newcommand{\Id}{\mathrm{Id}}
+\newcommand{\id}{\mathrm{id}}
+\newcommand{\taking}[1]{\xrightarrow{#1}}
+\newcommand{\inv}{^{-1}}
+
+\DeclareMathOperator{\ord}{ord}
+\newcommand{\defeq}{\overset{\mathrm{def}}{=}}
+\newcommand{\defiff}{\overset{\mathrm{def}}{\iff}}
+
+% From the USAMO .tex files
+\newcommand{\dg}{^\circ}
+
+\newcommand{\liff}{\leftrightarrow}
+\newcommand{\lthen}{\rightarrow}
+\newcommand{\opname}{\operatorname}
+\newcommand{\surjto}{\twoheadrightarrow}
+\newcommand{\injto}{\hookrightarrow}
+
+% Alcuni degli operatori più comunemente utilizzati.
+
+\DeclareMathOperator{\Char}{char}
+\DeclareMathOperator{\Dom}{Dom}
+\DeclareMathOperator{\Fix}{Fix}
+\DeclareMathOperator{\End}{End}
+\DeclareMathOperator{\existsone}{\exists !}
+\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}
+\DeclareMathOperator{\Imm}{Imm}
+\DeclareMathOperator{\Ker}{ker}
+\DeclareMathOperator{\rank}{rank}
+\DeclareMathOperator{\MCD}{MCD}
+\DeclareMathOperator{\Mor}{Mor}
+\DeclareMathOperator{\mcm}{mcm}
+\DeclareMathOperator{\Sym}{Sym}
+\DeclareMathOperator{\tr}{tr}
+
+% Reimposta alcuni simboli presenti di default in LaTeX con degli analoghi
+% più comuni.
+
+\let\oldemptyset\emptyset
+\let\emptyset\varnothing
+
+% Trasforma alcuni simboli in operatori matematici.
+
+\let\oldcirc\circ
+\let\circ\undefined
+\DeclareMathOperator{\circ}{\oldcirc}
+
+\let\oldexists\exists
+\let\exists\undefined
+\DeclareMathOperator{\exists}{\oldexists}
+
+\let\oldforall\forall
+\let\forall\undefined
+\DeclareMathOperator{\forall}{\oldforall}
+
+\let\oldnexists\nexists
+\let\nexists\undefined
+\DeclareMathOperator{\nexists}{\oldnexists}
+
+\let\oldland\land
+\let\land\undefined
+\DeclareMathOperator{\land}{\oldland}
+
+\let\oldlnot\lnot
+\let\lnot\undefined
+\DeclareMathOperator{\lnot}{\oldlnot}
+
+\let\oldlor\lor
+\let\lor\undefined
+\DeclareMathOperator{\lor}{\oldlor}
+
+\DeclareOption{counter}{
+    \let\algorithm\@undefined
+    \let\endalgorithm\@undefined
+    \let\corollary\@undefined
+    \let\endcorollary\@undefined
+    \let\c@lemma\@undefined
+    \let\lemma\@undefined
+    \let\endlemma\@undefined
+    \let\proposition\@undefined
+    \let\endproposition\@undefined
+    \let\theorem\@undefined
+    \let\endtheorem\@undefined
+
+    \newtheorem{algorithm}{Algoritmo}[chapter]
+    \newtheorem{corollary}{Corollario}[chapter]
+    \newtheorem{lemma}{Lemma}[chapter]
+    \newtheorem{proposition}{Proposizione}[chapter]
+    \newtheorem{theorem}{Teorema}[chapter]
+}
+
+\ProcessOptions\relax
+
+\author{di Gabriel Antonio Videtta}
+\date{\vspace{-0.5cm}}

Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/0-notazioni.tex

@@ -1,33 +0,0 @@
-%--------------------------------------------------------------------
-\chapter*{Notazioni impiegate}
-\addcontentsline{toc}{chapter}{Notazioni impiegate}
-\setlength{\parindent}{2pt}
-
-\begin{multicols*}{2}
-      Impiegheremo caratteri latini ($x$, $y$, $z$) per indicare quantità reali;
-      caratteri latini sottolineati ($\vec{x}$, $\vec{y}$, $\vec{z}$) per indicare
-      vettori o campi vettoriali; caratteri greci minuscoli ($\alpha$, $\beta$, $\gamma$) per indicare
-      curve; e caratteri greci maiuscoli ($\Sigma$) per indicare superfici.
-
-      \section*{Analisi matematica}
-      \addcontentsline{toc}{section}{Analisi matematica}
-
-      \begin{itemize}
-            \item $f_i$ -- nel caso di una funzione $f : \RR^n \to \RR^m$, la proiezione di $f$ sulla $i$-esima coordinata, ovverosia
-                  $\pi_i \circ f : \RR^n \to \RR$.
-            \item $\der{f}{t}(x)$, $f'(x)$ -- derivata di una funzione $f : I \subseteq \RR \to \RR^n$. Nel caso $n > 1$, coincide con
-                  il vettore $({f_i}'(t))_i)$. La notazione può essere iterata per ottenere le derivate successive.
-            \item $\partial_{x_i} f(\vec{x})$, $\pd{f}{x_i}(\vec{x})$, $f_{x_i}(\vec{x})$ -- derivata parziale nella $i$-esima coordinata
-                  di una funzione $f : \RR^n \to \RR$ nel punto $\vec{x}$. La notazione può essere iterata per ottenere le
-                  derivate successive.
-            \item $\nabla f(\vec{x})$ -- gradiente di una funzione $f : \RR^n \to \RR$, ovverosia il vettore $(\partial_{x_i} f(\vec{x}))_i^\top$.
-            \item $J f(\vec{x})$ -- jacobiano di una funzione $f : \RR^n \to \RR^m$ nel punto $x$, ovverosia la matrice
-                  $(\partial_{x_j} f_i (\vec{x}))_{i, j} = (\nabla f_i(\vec{x}))_{i}$.
-            \item $J_{\vec{y}} f(\vec{p})$ -- nel caso di una funzione $f : \RR^{m} \times \RR^{n} \to \RR^{n}$,
-                  la sottomatrice $n \times n$ quadrata di $J f(\vec{p})$ date dalle ultime $n$ colonne. Coincide
-                  con $J (\pi_{\RR^n} \circ f)(\vec{p})$.
-            \item $C^n$ -- classe delle funzioni dotate di derivate parziali continue fino all'ordine $n$. Per $n = 0$, coincide con la classe delle funzioni continue ($C^0$).
-            \item $C^\infty$, liscio -- classe delle funzioni derivabili parzialmente per un numero arbitrario di volte con continuità.
-            \item diffeomorfismo di classe $C^k$ -- funzione di classe $C^k$ con inversa di classe $C^k$.
-      \end{itemize}
-\end{multicols*}

Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/0-prerequisiti.tex

@@ -1,72 +0,0 @@
-%--------------------------------------------------------------------
-\chapter*{Prerequisiti matematici}
-\addcontentsline{toc}{chapter}{Prerequisiti matematici}
-\setlength{\parindent}{2pt}
-
-\begin{multicols*}{2}
-
-    \section*{Analisi matematica}
-    \addcontentsline{toc}{section}{Analisi matematica}
-
-    \begin{itemize}
-        \item \textbf{Teorema della funzione implicita} -- Sia $U$ un aperto di $\RR^m \times \RR^n$ e sia
-              $f : U \to \RR^n$ una funzione di classe $C^k$ con $k \geq 1$. Sia $\vec{p} = (\vec{x_0}, \vec{y_0})$ un punto in $U$ con
-              $f(\vec{x_0}, \vec{y_0}) = \vec{a}$ e $J_{\vec{y}} f(\vec{p})$ invertibile. \smallskip
-
-              Allora esiste un
-              intorno $A = I_{\vec{x}} \times I_{\vec{y}}$  di $\vec{p}$ in $U$ all'interno del quale esiste un'unica
-              funzione $g : I_{\vec{x}} \to I_{\vec{y}}$ di classe $C^k$ per cui:
-              \[ \vec{y} = g(\vec{x}) \iff f(\vec{x}, \vec{y}) = \vec{a}, \quad \text{(in $A$)}. \]
-              Inoltre per tale $g$ vale:
-              \[ J g(\vec{x_0}) = - J_{\vec{y}} f(\vec{p})\inv J_{\vec{x}} f(\vec{p}). \]
-
-        \item \textbf{Teorema di invertibilità locale} -- Sia $U$ un aperto di $\RR^n$ e sia $f : U \to \RR^n$ una
-              funzione di classe $C^k$, con $k \geq 1$. Sia $\vec{x_0}$ un punto in $U$ con $J f(\vec{x_0})$ invertibile. \smallskip
-
-              Allora esiste un
-              intorno $A$ di $\vec{x_0}$ in $U$ dentro al quale $\restr{f}{A}$ ha un'inversa $g$, anch'essa di classe
-              $C^k$, per la quale $J g(f(\vec{x})) = J f(\vec{x})\inv$.
-
-        \item \textbf{Teorema di esistenza e unicità globale per sistemi lineari di equazioni differenziali} --
-              Sia $I \subseteq \RR$ un intervallo aperto e siano date due funzioni continue:
-              \[ A : I \to \RR^{n \times n} \quad \text{e} \quad \vec{b} : I \to \RR^n. \]
-              Fissato $(t_0, \vec{y_0}) \in I \times \RR^n$, esiste un'unica soluzione $\vec{y} : I \to \RR^n$
-              del problema di Cauchy:
-              \[
-                  \begin{cases}
-                      \vec{y}'(t) = A(t)\vec{y}(t) + \vec{b}(t), \\
-                      \vec{y}(t_0) = \vec{y_0}.
-                  \end{cases}
-              \]
-
-        \item \textbf{Teorema di Cauchy-Lipschitz per l'esistenza e l'unicità locale} --
-              Sia $\Omega$ un aperto di $\RR \times \RR^n$ e sia $\vec{f} : \Omega \to \RR^n$ una funzione continua.
-              Si supponga inoltre che $\vec{f}$ sia \emph{localmente lipschitziana} rispetto alla seconda variabile. \smallskip
-
-              Allora, per ogni $(t_0, \vec{y_0}) \in \Omega$, esistono $\delta > 0$ e un'unica funzione
-              $\vec{y} : (t_0 - \delta, t_0 + \delta) \to \RR^n$ di classe $C^1$ che risolve il problema di Cauchy:
-              \[
-                  \begin{cases}
-                      \vec{y}'(t) = \vec{f}(t, \vec{y}(t)), \\
-                      \vec{y}(t_0) = \vec{y_0}.
-                  \end{cases}
-              \]
-
-        \item \textbf{Teorema di dipendenza liscia dai dati iniziali} --
-              Sia $\Omega$ un aperto di $\RR \times \RR^n$ e sia $\vec{f} : \Omega \to \RR^n$ una funzione di classe
-              $C^k$ con $k \geq 1$. Indichiamo con $\Phi(t, t_0, \vec{y_0})$ la soluzione massimale del
-              problema di Cauchy con dato iniziale $\vec{y}(t_0) = \vec{y_0}$. \smallskip
-
-              Allora l'insieme di definizione del flusso:
-              \[
-                  \mathcal{D} = \left\{ (t, t_0, \vec{y_0}) \in \RR \times \Omega :
-                  \begin{array}{c}
-                      \text{la soluzione } \vec{y}(t, t_0, \vec{y_0}) \\
-                      \text{esiste al tempo } t
-                  \end{array}
-                  \right\}
-              \]
-              è un aperto di $\RR \times \Omega$ e l'applicazione $\Phi : \mathcal{D} \to \RR^n$ è di classe $C^k$.
-    \end{itemize}
-
-\end{multicols*}

Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda/README.md

@@ -3,7 +3,7 @@
 - [Programma del corso 📘](https://unipi.coursecatalogue.cineca.it/insegnamenti/2025/50256_686307_66441/2008/50256/10299?coorte=2023&schemaid=8700)
 - [Registro del corso 📑](https://unimap.unipi.it/registri/dettregistriNEW.php?re=11083221::::&ri=8527)
 
-Questa cartella contiene una *Scheda riassuntiva*, che, come suggerisce il nome, vorrebbe essere un recap completo di tutta la
-teoria del corso.
+Questa cartella contiene un recap completo di tutta la teoria del corso di *Geometria e topologia differenziale*. Il file `main.pdf` contiene tutta la
+teoria, incluse le dimostrazioni; mentre `no_proofs.pdf` rimuove le dimostrazioni.
 
 Il progetto si basa su un layout di [Luca Lombardo](https://lukefleed.xyz/), utilizzato in particolare nelle [Schede riassuntive di Geometria 2](https://github.com/lukefleed/G2-cheat-sheet), basate sulle [dispense-capolavoro](https://www.overleaf.com/read/vsdktbwrgpth) di [Francesco Sorce](mailto:f.sorce@studenti.unipi.it).

Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda/generate_no_proofs.sh

@@ -0,0 +1,70 @@
+#!/bin/bash
+
+# Configurazione nomi
+TEMP_DIR="no_proofs_temp"
+MAIN_FILE="main.tex"
+PREAMBLE_FILE="preamble.tex"
+OUTPUT_PDF="no_proofs.pdf"
+
+NEW_TITLE="\\\\title{\\\\Huge{Teoria del corso di \\\\\\\\ \\\\textit{Geometria e topologia differenziale} \\\\\\\\ (senza dimostrazioni)}}"
+
+# 1. Crea la struttura della directory temporanea
+mkdir -p "$TEMP_DIR/sections"
+
+# Funzione per rimuovere le proof usando awk
+remove_proofs() {
+    local src=$1
+    local dest=$2
+    awk '/\\begin{proof}/, /\\end{proof}/ {next} 1' "$src" | \
+    sed "s/\\\\title{.*}/$NEW_TITLE/" > "$dest"
+}
+
+# 2. Elabora il file principale e il preambolo
+if [ -f "$MAIN_FILE" ]; then
+    echo "Elaborazione $MAIN_FILE..."
+    remove_proofs "$MAIN_FILE" "$TEMP_DIR/$MAIN_FILE"
+else
+    echo "Errore: $MAIN_FILE non trovato nella directory corrente."
+    exit 1
+fi
+
+if [ -f "$PREAMBLE_FILE" ]; then
+    echo "Elaborazione $PREAMBLE_FILE..."
+    remove_proofs "$PREAMBLE_FILE" "$TEMP_DIR/$PREAMBLE_FILE"
+else
+    echo "Errore: $PREAMBLE_FILE non trovato nella directory corrente."
+    exit 1
+fi
+
+# 3. Elabora tutti i file nella cartella sections
+if [ -d "sections" ]; then
+    echo "Elaborazione dei file in sections/..."
+    for f in sections/*.tex; do
+        if [ -f "$f" ]; then
+            remove_proofs "$f" "$TEMP_DIR/$f"
+        fi
+    done
+fi
+
+# 4. Compilazione
+echo "Compilazione in corso..."
+cd "$TEMP_DIR"
+
+# Eseguiamo pdflatex (due volte per riferimenti/indice)
+# -interaction=nonstopmode evita che lo script si blocchi in caso di warning
+pdflatex -interaction=nonstopmode "$MAIN_FILE" > /dev/null
+pdflatex -interaction=nonstopmode "$MAIN_FILE"
+
+# 5. Sposta il PDF nella directory originale e pulisci
+if [ -f "main.pdf" ]; then
+    mv "main.pdf" "../$OUTPUT_PDF"
+    cd ..
+    echo "Successo! PDF generato: $OUTPUT_PDF"
+
+    # Cancella i file temporanei
+    rm -rf "$TEMP_DIR"
+else
+    echo "Errore durante la compilazione del PDF."
+    cd ..
+    exit 1
+fi

Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda/main.tex

@@ -8,7 +8,7 @@
 \renewcommand{\chaptername}{Parte}
 \addto\captionsitalian{\renewcommand{\chaptername}{Parte}}
 
-\title{\Huge{Schede riassuntive di \\ \textit{Geometria e topologia differenziale}}}
+\title{\Huge{Teoria del corso di \\ \textit{Geometria e topologia differenziale}}}
 \date{A.A. 2025-2026}
 \author{A cura di Gabriel Antonio Videtta\footnote{Basato su un layout di \underline{Luca Lombardo} e di \underline{Francesco Sorce}.} \\ \href{mailto:g.videtta1@studenti.unipi.it}{\texttt{g.videtta1@studenti.unipi.it}} \\[0.3in] Testo basato sul contenuto del corso del prof.~Lisca \\ tenutosi presso l'Università di Pisa.}
 
@@ -23,5 +23,8 @@
 \input{sections/0-notazioni.tex}
 \input{sections/0-prerequisiti.tex}
 \input{sections/1-curve.tex}
+\input{sections/2-superfici.tex}
+\input{sections/3-curve_su_superfici.tex}
+\input{sections/4-varieta-e-teoria-del-grado.tex}
 
 \end{document}

Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda/preamble.tex

@@ -25,11 +25,19 @@
 \usepackage{pdflscape}
 \usepackage{mathtools}
 \usepackage{lmodern}
-\usepackage{accents}
 
-\renewcommand{\vec}[1]{{\underaccent{\bar}{{#1}}}}
+%\usepackage{tikz-3dplot}
+%\usetikzlibrary{arrows.meta}
+%\usetikzlibrary{intersections}
 
-\newtheorem*{warn}{\warning \; Attenzione}
+\DeclareMathOperator{\tr}{tr}
+\DeclareMathOperator{\Int}{int}
+
+\renewcommand{\vec}[1]{{\underline{#1}}}
+
+\newcommand{\basis}{\mathcal{B}}
+
+\newtheorem*{warn}{{\fontencoding{U}\fontfamily{futs}\selectfont\char 49\relax} \; Attenzione}
 
 \newtheoremstyle{customth}
 {\topsep}{\topsep}
@@ -59,14 +67,14 @@
 
 \makeatletter
 \renewenvironment{proof}[1][\proofname]{\par
-  \pushQED{\qed}%
-  \normalfont \topsep6\p@\@plus6\p@\relax
-  \trivlist
-  \item[\hskip\labelsep
-              \itshape
-              #1\@addpunct{.}]\mbox{}\\*
+    \pushQED{\qed}%
+    \normalfont \topsep6\p@\@plus6\p@\relax
+    \trivlist
+    \item[\hskip\labelsep
+                \itshape
+                #1\@addpunct{.}]\mbox{}\\*
 }{%
-  \popQED\endtrivlist\@endpefalse
+    \popQED\endtrivlist\@endpefalse
 }
 \makeatother
 
@@ -75,6 +83,21 @@
 \newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}}
 \newcommand{\RR}{\mathbb{R}}
 \newcommand{\QQ}{\mathbb{Q}}
+\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}
+\newcommand{\cc}{\mathcal{C}}
+\newcommand{\TT}{\mathbb{T}}
+
+\DeclareMathOperator{\ind}{ind}
+\DeclareMathOperator{\mult}{mult}
+
+\newcommand{\I}{\mathrm{I}}
+\newcommand{\II}{\mathrm{II}}
+
+\DeclareMathOperator{\SO}{SO}
+\DeclareMathOperator{\rk}{rk}
+
+\DeclareMathOperator{\vol}{vol}
+\DeclareMathOperator{\crit}{crit}
 
 \DeclareMathOperator{\Span}{span}
 
@@ -91,8 +114,14 @@
 \newcommand{\der}[2]{\frac{\mathop{}\!\textnormal{\slshape d} #1}{\mathop{}\!\textnormal{\slshape d} #2}}
 \newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
 
+\newcommand{\dertime}[2]{\left. \der{}{t} #1 \right|_{#2}}
+
 \newcommand*\dif{\mathop{}\!\textnormal{\slshape d}}
 
+\let\oldemptyset\emptyset
+\let\emptyset\varnothing
+
+\newcommand{\dA}{\dif{A}}
 \newcommand{\dx}{\dif{x}}
 \newcommand{\dy}{\dif{y}}
 \newcommand{\du}{\dif{u}}
@@ -103,7 +132,11 @@
 %\setcounter{secnumdepth}{1}
 
 \newcommand{\restr}[2]{
-  #1\arrowvert_{#2}
+    #1\arrowvert_{#2}
+}
+
+\newcommand{\bigrestr}[2]{
+    #1\Big\arrowvert_{#2}
 }
 
 \newcommand{\inv}{^{-1}}
@@ -125,12 +158,12 @@
 
 % A TikZ style for curved arrows of a fixed height, due to AndréC.
 \tikzset{curve/.style={settings={#1},to path={(\tikztostart)
-          .. controls ($(\tikztostart)!\pv{pos}!(\tikztotarget)!\pv{height}!270:(\tikztotarget)$)
-          and ($(\tikztostart)!1-\pv{pos}!(\tikztotarget)!\pv{height}!270:(\tikztotarget)$)
-          .. (\tikztotarget)\tikztonodes}},
-  settings/.code={\tikzset{quiver/.cd,#1}
-      \def\pv##1{\pgfkeysvalueof{/tikz/quiver/##1}}},
-  quiver/.cd,pos/.initial=0.35,height/.initial=0}
+                    .. controls ($(\tikztostart)!\pv{pos}!(\tikztotarget)!\pv{height}!270:(\tikztotarget)$)
+                    and ($(\tikztostart)!1-\pv{pos}!(\tikztotarget)!\pv{height}!270:(\tikztotarget)$)
+                    .. (\tikztotarget)\tikztonodes}},
+    settings/.code={\tikzset{quiver/.cd,#1}
+            \def\pv##1{\pgfkeysvalueof{/tikz/quiver/##1}}},
+    quiver/.cd,pos/.initial=0.35,height/.initial=0}
 
 % TikZ arrowhead/tail styles.
 \tikzset{tail reversed/.code={\pgfsetarrowsstart{tikzcd to}}}

Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda/sections/0-notazioni.tex

@@ -0,0 +1,153 @@
+%--------------------------------------------------------------------
+\chapter*{Notazioni impiegate}
+\addcontentsline{toc}{chapter}{Notazioni impiegate}
+\setlength{\parindent}{2pt}
+
+\begin{multicols*}{2}
+      Cercheremo di impiegare caratteri latini ($x$, $y$, $z$) per indicare quantità reali;
+      caratteri latini sottolineati ($\vec{x}$, $\vec{y}$, $\vec{z}$) per indicare
+      vettori o campi vettoriali; caratteri greci minuscoli ($\alpha$, $\beta$, $\gamma$) per indicare
+      curve; e caratteri greci maiuscoli ($\Sigma$) per indicare superfici.
+
+      \section*{Algebra lineare}
+      \addcontentsline{toc}{section}{Algebra lineare}
+
+      \begin{itemize}
+            \item $\rk$ -- rango di un'applicazione lineare o di una matrice.
+            \item $M(n)$ -- matrici $n \times n$ a elementi reali.
+            \item $S(n)$ -- matrici simmetriche $n \times n$ a elementi reali.
+      \end{itemize}
+
+      \section*{Analisi matematica}
+      \addcontentsline{toc}{section}{Analisi matematica}
+
+      \begin{itemize}
+            \item $\mult(p, z)$ -- molteplicità algebrica della radice $z$ nel polinomio $p$.
+            \item $\deg(p(x))$ -- grado del polinomio $p$.
+            \item $\{f \operatorname{op} a\}$ -- data una funzione $f : X \to \RR$ a valori reali, $\{f \operatorname{op} a\}$ denota
+                  l'insieme $\{ x \in X \mid f(x) \operatorname{op} a\}$, dove $a \in \RR$.
+            \item $f \times g$ -- date due funzioni $f : A \to C$, $g : B \to D$, la funzione $f \times g : (A \times B) \to (C \times D)$ è
+                  definita in modo tale che $(f \times g)(a, b) = (f(a), g(b))$.
+            \item $\restr{f}{A}$ -- restrizione di una funzione $f$ al sottinsieme $A$ del dominio.
+            \item $f_i$ -- nel caso di una funzione $f : \RR^n \to \RR^m$, la proiezione di $f$ sulla $i$-esima coordinata, ovverosia
+                  $\pi_i \circ f : \RR^n \to \RR$.
+            \item $\der{f}{t}(x)$, $f'(x)$, $\dot{f}$ -- derivata di una funzione $f : I \subseteq \RR \to \RR^n$. Nel caso $n > 1$, coincide con
+                  il vettore $({f_i}'(t))_i)$. La notazione può essere iterata per ottenere le derivate successive.
+            \item $\partial_{x_i} f(\vec{x})$, $\pd{f}{x_i}(\vec{x})$, $f_{x_i}(\vec{x})$ -- derivata parziale nella $i$-esima coordinata
+                  di una funzione $f : \RR^n \to \RR$ nel punto $\vec{x}$. La notazione può essere iterata per ottenere le
+                  derivate successive.
+            \item $\vec{x_i}$ -- derivate parziali nella $i$-esima coordinata di un campo $\vec{x}$ da $\RR^n$ a $\RR^m$, ovverosia
+                  $((x_1)_i, \ldots, (x_m)_i)^\top$.
+            \item $\nabla f(\vec{x})$, $\nabla f_{\vec{x}}$ -- gradiente di una funzione $f : \RR^n \to \RR$, ovverosia il vettore $(\partial_{x_i} f(\vec{x}))_i^\top$.
+            \item $J f(\vec{x})$, $J f_\vec{x}$ -- jacobiano di una funzione $f : \RR^n \to \RR^m$ nel punto $x$, ovverosia la matrice
+                  $(\partial_{x_j} f_i (\vec{x}))_{i, j} = (\nabla f_i(\vec{x}))_{i}$.
+            \item $J_{\vec{y}} f(\vec{p})$ -- nel caso di una funzione $f : \RR^{m} \times \RR^{n} \to \RR^{n}$,
+                  la sottomatrice $n \times n$ quadrata di $J f(\vec{p})$ date dalle ultime $n$ colonne. Coincide
+                  con $J (\pi_{\RR^n} \circ f)(\vec{p})$.
+            \item $C^n$ -- classe delle funzioni dotate di derivate parziali continue fino all'ordine $n$. Per $n = 0$, coincide con la classe delle funzioni continue ($C^0$).
+            \item $C^\infty$, liscio -- classe delle funzioni derivabili parzialmente per un numero arbitrario di volte con continuità.
+            \item diffeomorfismo di classe $C^k$ -- funzione di classe $C^k$ con inversa di classe $C^k$.
+      \end{itemize}
+
+      \section*{Geometria differenziale delle curve e delle superfici}
+      \addcontentsline{toc}{section}{Geometria differenziale delle curve e delle superfici}
+
+      \begin{itemize}
+            \item $B_R(P, \RR^n)$, $B_R(P)$ -- la palla $n$-dimensionale di raggio $R$ e centro $P$. Ometteremo $\RR^n$ quando la dimensione si deduce dal contesto.
+            \item $S_a^i(P)$ -- l'ipersfera $i$-dimensionale di raggio $a$ e centro $P$, ovverosia $\{\vec{x} \in \RR^{i+1} \mid \norm{\vec{x} - P} = a\}$.
+            \item $\TT_{a, b}$ -- toro di raggio maggiore $a$ e raggio minore $b$.
+            \item $\ell(\alpha)$ -- lunghezza di una curva $\alpha$.
+            \item p.l.a.~-- parametrizzata a lunghezza d'arco, ovverosia con velocità unitaria.
+            \item $\kappa_\alpha$ -- curvatura di una curva $\alpha$ in un punto.
+            \item $\tau_\alpha$ -- torsione di una curva $\alpha$ in un punto.
+            \item $T_\alpha$ -- versore tangente di una curva regolare in un punto.
+            \item $N_\alpha$ -- versore normale di una curva di Frenet in un punto.
+            \item $B_\alpha$ -- versore binormale di una curva di Frenet in un punto.
+            \item $\Pi_\alpha$ -- piano osculatore di $\alpha$ in un punto.
+            \item $R_\alpha$ -- raggio di curvatura di $\alpha$ in un punto.
+            \item $T_P \Sigma$ -- piano tangente di $P$ rispetto a $\Sigma$.
+            \item $\vec{n}$, $n_{\vec{x}}$ -- (versore) normale (eventualmente locale) di una superficie o di una parametrizzazione regolare.
+            \item $D_\xi f(P)$ -- derivata direzionale con direzione $\xi$ della funzione $f$ nel punto $P$ di una superficie.
+            \item $S_P$ -- operatore forma nel punto $P$ di una superficie.
+            \item $\I_P$ -- I forma fondamentale nel punto $P$ di una superficie.
+            \item $\II_P$ -- II forma fondamentale nel punto $P$ di una superficie.
+            \item $E$, $F$, $G$ -- elementi della rappresentazione matriciale della I forma fondamentale: $\I_P = \begin{pmatrix}
+                              E & F \\ F & G
+                        \end{pmatrix}$.
+            \item $\ell$, $m$, $n$ -- elementi della rappresentazione matriciale della II forma fondamentale: $\II_P = \begin{pmatrix}
+                              \ell & m \\ m & n
+                        \end{pmatrix}$.
+            \item $a$, $b$, $c$, $d$ -- elementi della rappresentazione matriciale dell'operatore forma: $S_P = \begin{pmatrix}
+                              a & c \\ b & d
+                        \end{pmatrix}$.
+            \item $\kappa_n$ -- curvatura normale di una superficie in un punto $P$ secondo un dato vettore unitario.
+            \item $\kappa_{\alpha, n}$ -- curvatura normale di $\alpha$ rispetto a una superficie.
+            \item $\kappa_1$, $\kappa_2$ -- curvature principali di una superficie in un punto.
+            \item $\kappa$ -- curvatura gaussiana di una superficie in un punto.
+            \item $H$ -- curvatura media di una superficie in un punto.
+            \item $\Gamma_{ij}^k$ -- simbolo di Christoffel, ovverosia coefficiente di $\vec{x_k}$ in $\vec{x_{ij}}$.
+            \item $\nabla_v X(P)$ -- derivata covariante di un campo vettoriale $X$ tangente alla superficie $\Sigma$ in direzione $v$ nel punto $P$.
+            \item $(\cdot)^\top$ -- proiezione di $\cdot$ sul piano tangente $T_P \Sigma$.
+            \item $\gamma_v$ -- geodetica locale di direzione $v$.
+            \item $U_P$ -- intorno di definizione della mappa esponenziale in un punto $P$.
+            \item $\exp_P$ -- mappa esponenziale in un punto $P$.
+            \item $v_k$ -- data una base ortonormale $\vec{e_1}$, $\vec{e_2}$, la mappa $t \mapsto k(\cos(t) \vec{e_1} + \sin(t) \vec{e_2})$.
+            \item $N_P$ -- intorno normale di un punto $P$.
+            \item $\varphi(\gamma(t))$ -- angolo tra la curva $\gamma$ e il parallelo di $\gamma(t)$ al tempo $t$.
+            \item $r(\gamma(t))$ -- distanza di $\gamma(t)$ dall'asse di rotazione.
+            \item $k_{\alpha, g}$ -- curvatura geodetica di una curva $\alpha$ rispetto a una superficie $\Sigma$.
+            \item $A(R)$ -- area di una regione $R$ di una superficie $\Sigma$.
+            \item $\int_R \varphi \dA$ -- integrazione rispetto all'area in una regione $R$, equivalente a $\iint_{\vec{x}\inv(R)} (\varphi \circ \vec{x}) \, \norm{\vec{x_u} \times \vec{x_v}} \du \dv$.
+            \item $\eps_i$ -- angolo esterno $i$-esimo di una regione o superficie con bordo.
+            \item $\iota_i$ -- angolo interno $i$-esimo di una regione o superficie con bordo.
+            \item $\partial \Sigma$ -- bordo di una superficie con bordo, come unione delle tracce delle regioni con cui è definita per differenza.
+            \item $\chi(\Sigma)$ -- caratteristica di Eulero-Poincaré di una superficie con bordo.
+      \end{itemize}
+
+      \section*{Teoria della misura}
+      \addcontentsline{toc}{section}{Teoria della misura}
+
+      \begin{itemize}
+            \item $\vol$ -- applicazione per calcolare il volume di un rettangolo in $\RR^n$; tale per cui
+                  $\vol([a_1, b_1] \times \cdots \times [a_n, b_n]) = \prod_i {(b_i - a_i)}$.
+            \item $m$ -- misura di Lebesgue su $\RR^n$.
+      \end{itemize}
+
+      \section*{Teoria delle varietà}
+      \addcontentsline{toc}{section}{Teoria delle varietà}
+
+      \begin{itemize}
+            \item $\dim M$ -- dimensione di una varietà $M$.
+            \item $(f, W \cap M)$ -- carta locale di una varietà $M$; si sottintende che $W$ sia un aperto dello spazio ambiente in cui è contenuto $M$ e
+                  che $f$ sia un diffeomorfismo con dominio $W \cap M$ verso un aperto di $\RR^{\dim M}$.
+            \item $T_x M$ -- spazio tangente di un punto $x$ di una varietà $M$.
+            \item $\dif f_x$ -- differenziale di una mappa liscia $f : M \to N$ tra varietà nel punto $x$.
+            \item $\crit(f)$ -- insieme dei punti critici di una mappa liscia $f : M \to N$ tra varietà.
+            \item $S^n$ -- sfera $n$-dimensionale reale, ovverosia $\{\vec{x} \in \RR^{n+1} \mid \norm{\vec{x}} = 1\}$.
+            \item $D^n$ -- disco $n$-dimensionale reale, ovverosia $\{\vec{x} \in \RR^{n} \mid \norm{\vec{x}} \leq 1\}$.
+            \item $H^n$ -- semispazio $\{ x \in \RR^n \mid x_m \geq 0 \}$.
+            \item $\partial H^n$ -- bordo del semispazio $\{ x \in \RR^n \mid x_m \geq 0 \}$, ovverosia $\{ x \in \RR^n \mid x_m = 0 \} \cong \RR^{n-1}$.
+            \item $\partial M$ -- bordo di una varietà bordata $M$.
+            \item $\deg_2 f$ -- grado modulo $2$ di una mappa liscia $f : M \to N$, con $M$ compatta e $N$ connessa.
+            \item $\sgn$ -- segno di un'orientazione rispetto a una ``standard''; per una mappa lineare, funzione che restituisce
+                  $+1$ in caso di orientazione preservata e $-1$ altrimenti.
+            \item $\deg(f; y)$ -- grado intero di $f$ in $y$, dove $f : M \to N$ è una mappa liscia con $M$ chiusa e orientata, e $N$ connessa e orientata.
+            \item $\deg f$ -- grado intero di una mappa liscia $f : M \to N$, con $M$ chiusa e orientata, e $N$ connessa e orientata.
+            \item $\ind(v, z)$ -- indice del campo vettoriale $v$ in $z$.
+            \item $\Delta^{(m)}$ -- $m$-simplesso.
+            \item $s_i(C)$ -- numero di $i$-simplessi nel complesso simpliciale $C$.
+            \item $\chi(M)$ -- caratteristica di Eulero-Poincaré di una varietà compatta $M$.
+      \end{itemize}
+
+      \section*{Topologia}
+      \addcontentsline{toc}{section}{Topologia}
+
+      \begin{itemize}
+            \item II-numerabile -- spazio topologico che ammette una base numerabile.
+            \item T1 -- spazio topologico i cui singoletti sono insiemi chiusi.
+            \item T2 -- spazio topologico per cui due punti distinti ammettono l'esistenza di una coppia di intorni disgiunti.
+            \item $\overline{X}$ -- chiusura di un insieme.
+            \item $\Int(X)$ -- parte interna di un insieme.
+            \item $\partial X$ -- frontiera di un insieme, ovverosia $\overline{X} \setminus \Int(X)$.
+      \end{itemize}
+\end{multicols*}

Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda/sections/0-prerequisiti.tex

@@ -0,0 +1,104 @@
+%--------------------------------------------------------------------
+\chapter*{Prerequisiti matematici}
+\addcontentsline{toc}{chapter}{Prerequisiti matematici}
+\setlength{\parindent}{2pt}
+
+\begin{multicols*}{2}
+      \section*{Algebra lineare}
+      \addcontentsline{toc}{section}{Algebra lineare}
+
+      \begin{itemize}
+            \item \textbf{Caratterizzazione del rango di una matrice} -- Sia $M \in \RR^{m \times n}$ una matrice. Allora $\rk(M) = k$ se e solo se
+                  i minori di taglia superiore a $k$ in $M$ hanno tutti determinante nullo ed esiste un minore di
+                  taglia $k$ con determinante \underline{non} nullo.
+      \end{itemize}
+
+      \section*{Analisi matematica}
+      \addcontentsline{toc}{section}{Analisi matematica}
+
+      \begin{itemize}
+            \item \textbf{Teorema di Schwarz} -- Sia $f : \RR^n \to \RR$ una funzione che ammette derivate seconde
+                  miste continue in $\vec{x}$. Allora $\partial_{x_i x_j} f(\vec{x}) = \partial_{x_j x_i} f(\vec{x})$ per
+                  ogni variabile $x_i$, $x_j$.
+
+            \item \textbf{Teorema della funzione implicita} -- Sia $U$ un aperto di $\RR^m \times \RR^n$ e sia
+                  $f : U \to \RR^n$ una funzione di classe $C^k$ con $k \geq 1$. Sia $\vec{p} = (\vec{x_0}, \vec{y_0})$ un punto in $U$ con
+                  $f(\vec{x_0}, \vec{y_0}) = \vec{a}$ e $J_{\vec{y}} f(\vec{p})$ invertibile. \smallskip
+
+                  Allora esiste un
+                  intorno $A = I_{\vec{x}} \times I_{\vec{y}}$  di $\vec{p}$ in $U$ all'interno del quale esiste un'unica
+                  funzione $g : I_{\vec{x}} \to I_{\vec{y}}$ di classe $C^k$ per cui:
+                  \[ \vec{y} = g(\vec{x}) \iff f(\vec{x}, \vec{y}) = \vec{a}, \quad \text{(in $A$)}. \]
+                  Inoltre per tale $g$ vale:
+                  \[ J g(\vec{x_0}) = - J_{\vec{y}} f(\vec{p})\inv J_{\vec{x}} f(\vec{p}). \]
+
+            \item \textbf{Teorema di invertibilità locale} (o \textit{della funzione inversa}) -- Sia $U$ un aperto di $\RR^n$ e sia $f : U \to \RR^n$ una
+                  funzione di classe $C^k$, con $k \geq 1$. Sia $\vec{x_0}$ un punto in $U$ con $J f(\vec{x_0})$ invertibile. \smallskip
+
+                  Allora esiste un
+                  intorno $A$ di $\vec{x_0}$ in $U$ dentro al quale $\restr{f}{A}$ ha un'inversa $g$, anch'essa di classe
+                  $C^k$, per la quale $J g(f(\vec{x})) = J f(\vec{x})\inv$.
+
+            \item \textbf{Teorema di esistenza e unicità globale per sistemi lineari di equazioni differenziali} --
+                  Sia $I \subseteq \RR$ un intervallo aperto e siano date due funzioni continue:
+                  \[ A : I \to \RR^{n \times n} \quad \text{e} \quad \vec{b} : I \to \RR^n. \]
+                  Fissato $(t_0, \vec{y_0}) \in I \times \RR^n$, esiste un'unica soluzione $\vec{y} : I \to \RR^n$
+                  del problema di Cauchy:
+                  \[
+                        \begin{cases}
+                              \vec{y}'(t) = A(t)\vec{y}(t) + \vec{b}(t), \\
+                              \vec{y}(t_0) = \vec{y_0}.
+                        \end{cases}
+                  \]
+
+            \item \textbf{Teorema di Cauchy-Lipschitz per l'esistenza e l'unicità locale} --
+                  Sia $\Omega$ un aperto di $\RR \times \RR^n$ e sia $\vec{f} : \Omega \to \RR^n$ una funzione continua.
+                  Si supponga inoltre che $\vec{f}$ sia \emph{localmente lipschitziana} rispetto alla seconda variabile. \smallskip
+
+                  Allora, per ogni $(t_0, \vec{y_0}) \in \Omega$, esistono $\delta > 0$ e un'unica funzione
+                  $\vec{y} : (t_0 - \delta, t_0 + \delta) \to \RR^n$ di classe $C^1$ che risolve il problema di Cauchy:
+                  \[
+                        \begin{cases}
+                              \vec{y}'(t) = \vec{f}(t, \vec{y}(t)), \\
+                              \vec{y}(t_0) = \vec{y_0}.
+                        \end{cases}
+                  \]
+
+            \item \textbf{Teorema di dipendenza liscia dai dati iniziali} --
+                  Sia $\Omega$ un aperto di $\RR \times \RR^n$ e sia $\vec{f} : \Omega \to \RR^n$ una funzione di classe
+                  $C^k$ con $k \geq 1$. Indichiamo con $\Phi(t, t_0, \vec{y_0})$ la soluzione massimale del
+                  problema di Cauchy con dato iniziale $\vec{y}(t_0) = \vec{y_0}$. \smallskip
+
+                  Allora l'insieme di definizione del flusso:
+                  \[
+                        \mathcal{D} = \left\{ (t, t_0, \vec{y_0}) \in \RR \times \Omega :
+                        \begin{array}{c}
+                              \text{la soluzione } \vec{y}(t, t_0, \vec{y_0}) \\
+                              \text{esiste al tempo } t
+                        \end{array}
+                        \right\}
+                  \]
+                  è un aperto di $\RR \times \Omega$ e l'applicazione $\Phi : \mathcal{D} \to \RR^n$ è di classe $C^k$.
+
+            \item \textbf{Teorema di Sard sugli aperti di $\RR^n$} -- Sia $U \subseteq \RR^n$ aperto, e sia $f : U \to \RR^n$ una mappa
+                  liscia. Allora l'insieme $\crit(f)$ dei valori critici di $f$ ha misura nulla.
+
+            \item \textbf{Teorema di approssimazione di Weierstrass} -- Sia $K \subseteq \RR^n$ un compatto, e sia $f : K \to \RR$ una mappa
+                  continua. Allora per ogni $\eps > 0$ esiste una funzione polinomiale $P : K \to \RR$ tale per cui $\norm{f-P}_\infty < \eps$.
+      \end{itemize}
+
+      \section*{Teoria della misura}
+      \addcontentsline{toc}{section}{Teoria della misura}
+
+      \begin{itemize}
+            \item \textbf{Caratterizzazione dell'annullamento della misura di Lebesgue} -- Sia $A$ un sottinsieme di $\RR^n$. Allora
+                  $A$ ha misura nulla se e solo se, per ogni scelta di $\eps > 0$, esiste una famiglia numerabile $\{B_i\}_{i \geq 0}$
+                  di rettangoli $B_i \subseteq \RR^n$ tali per cui:
+                  \[ A \subseteq \bigcup_{i \geq 0} B_i, \quad \sum_{i \geq 0} \vol(B_i) < \eps. \]
+
+            \item \textbf{Lemma per la nullità della misura su un unione numerabile di insiemi di misura nulla} -- Se $\{A_k\}_{k \geq 0}$
+                  è una famiglia di sottinsiemi di misura nulla di $\RR^n$, allora anche $\bigcup_{k \geq 0} A_k$ ha misura nulla.
+
+      \end{itemize}
+
+\end{multicols*}

Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda/sections/1-curve.tex

@@ -6,7 +6,7 @@
     Qualora non specificato, assumeremo l'utilizzo di funzioni di classe $C^\infty$. \smallskip
 
     Se $\vec{x} \in \RR^3$ e $f$ è una funzione relativa a una curva $\alpha$, ammettiamo l'abuso di notazione
-    $f(\vec{x})$, intendendo $f(\alpha\inv(\vec{x}))$ (e.g., $\kappa(P)$ per intendere $\kappa(\alpha\inv(P)))$).
+    $f(\vec{x})$, intendendo $f(\alpha\inv(\vec{x}))$; per esempio useremo $\kappa(P)$ per intendere $\kappa(\alpha\inv(P))$.
 
     \section{Definizioni preliminari}
 
@@ -15,7 +15,7 @@
     \begin{definition}[Curva parametrizzata]
         Una \textbf{curva parametrizzata} (o semplicemente \textit{curva})
         è una mappa $\alpha : I \subseteq \RR \to \RR^3$
-        di classe $C^\infty$, dove $I$ è un intervallo
+        di classe $C^\infty$, dove $I$ è un intervallo.
     \end{definition}
 
     \begin{definition}[Traccia di una curva]
@@ -35,7 +35,7 @@
         Si definisce la \textbf{lunghezza} $\ell(\alpha)$ di una curva
         $\alpha : I \to \RR^3$ come:
         \[
-            \ell(\alpha) \defeq \int_I \norm{\alpha'(t)} \dt.
+            \boxed{\ell(\alpha) \defeq \int_I \norm{\alpha'(t)} \dt.}
         \]
     \end{definition}
 
@@ -144,7 +144,7 @@
     \begin{definition}[Curvatura]
         Sia $\beta$ una curva p.l.a., allora si definisce la
         \textbf{curvatura} $\kappa_\beta(s)$ di $\beta$ al tempo $s$ come
-        $\norm{T_\beta'(s)}$. \smallskip
+        $\norm{\dot{T_\beta}(s)}$. \smallskip
 
         Laddove è chiaro dal contesto quale sia $\beta$, scriviamo solo $\kappa(s)$.
     \end{definition}
@@ -161,7 +161,7 @@
         a ogni tempo $s$ il \textbf{versore normale} $N_\beta(s)$ così
         definito:
         \[
-            N_\beta(s) = \frac{T_\beta(s)}{\norm{T_\beta(s)}}.
+            N_\beta(s) \defeq \frac{\dot{T_\beta}(s)}{\norm{\dot{T_\beta}(s)}}.
         \]
     \end{definition}
 
@@ -170,7 +170,7 @@
         a ogni tempo $s$ il \textbf{versore binormale} $B_\beta(s)$ così
         definito:
         \[
-            B_\beta(s) = T_\beta(s) \times N_\beta(s).
+            B_\beta(s) \defeq T_\beta(s) \times N_\beta(s).
         \]
     \end{definition}
 
@@ -189,7 +189,7 @@
         Sia $\beta$ una curva di Frenet p.l.a. Allora vale la seguente
         equazione:
         \begin{equation} \label{eq:frenet_1} \tag{F1}
-            \dot{T_\beta}(s) = \kappa_\beta(s) \cdot N_\beta(s).
+            \boxed{\dot{T_\beta}(s) = \kappa_\beta(s) \cdot N_\beta(s).}
         \end{equation}
     \end{proposition}
 
@@ -206,14 +206,14 @@
         Sia $\beta$ una curva di Frenet p.l.a. Allora definiamo la
         \textbf{torsione} $\tau_\beta(s)$ come il coefficiente di $\dot{N_\beta}(s)$ in
         $B_\beta(s)$, ovverosia:
-        \[ \tau_\beta(s) = \dot{N_\beta}(s) \cdot B_\beta(s). \]
+        \[ \boxed{\tau_\beta(s) = \dot{N_\beta}(s) \cdot B_\beta(s).} \]
     \end{definition}
 
     \begin{proposition}[Seconda equazione di Frenet]
         Sia $\beta$ una curva di Frenet p.l.a. Allora vale la seguente
         equazione:
         \begin{equation} \label{eq:frenet_2} \tag{F2}
-            \dot{N_\beta}(s) = - \kappa_\beta(s) \, T_\beta(s) + \tau_\beta(s) \, B_\beta(s).
+            \boxed{\dot{N_\beta}(s) = - \kappa_\beta(s) \, T_\beta(s) + \tau_\beta(s) \, B_\beta(s).}
         \end{equation}
     \end{proposition}
 
@@ -221,9 +221,9 @@
         Sia $\beta$ una curva di Frenet p.l.a. Allora vale la seguente
         equazione:
         \begin{equation} \label{eq:frenet_3} \tag{F3}
-            \dot{B_\beta}(s) = -\tau_\beta(s) \, N_\beta(s),
+            \boxed{\dot{B_\beta}(s) = -\tau_\beta(s) \, N_\beta(s),}
         \end{equation}
-        e quindi $\tau_\beta(s) = -\dot{B_\beta}(s) \cdot N_\beta(s)$.
+        e quindi $\boxed{\tau_\beta(s) = -\dot{B_\beta}(s) \cdot N_\beta(s)}$.
     \end{proposition}
 
     \begin{remark}
@@ -262,21 +262,21 @@
         Allora le curvature delle due curve coincidono nei
         punti delle tracce. \medskip
 
-        In altre parole, se $f : I \to J$ è il diffeomorfismo per cui
-        $\beta = \gamma \circ f$, allora:
+        In altre parole, se $f : J \to I$ è il diffeomorfismo per cui
+        $\gamma = \beta \circ f$, allora:
         \[
-            \kappa_\gamma(s) = \kappa_\beta(f\inv(s)).
+            \kappa_\gamma(s) = \kappa_\beta(f(s)).
         \]
         Inoltre, se $\beta$ è di Frenet, anche $\gamma$ è di Frenet, e se $f$ preserva l'orientazione,
         allora i triedri di Frenet e la torsione coincidono nei punti delle tracce, ossia:
         \[
-            T_\gamma(s) = T_\beta(f\inv(s)), \quad N_\gamma(s) = N_\beta(f\inv(s)),
+            T_\gamma(s) = T_\beta(f(s)), \quad N_\gamma(s) = N_\beta(f(s)),
         \]
         \[
-            B_\gamma(s) = B_\beta(f\inv(s)), \quad \tau_\gamma(s) = \tau_\beta(f\inv(s)).
+            B_\gamma(s) = B_\beta(f(s)), \quad \tau_\gamma(s) = \tau_\beta(f(s)).
         \]
         Qualora $f$ non preservasse l'orientazione, le quantità sopracitate di $\gamma$
-        coincidono con quelle di $\gamma$ nei punti, ma sono cambiate di segno (eccetto per la normale
+        coincidono con quelle di $\beta$ nei punti, ma sono cambiate di segno (eccetto per la normale
         $N_\gamma$, che invece ha stesso verso).
     \end{proposition}
 
@@ -386,7 +386,7 @@
     \begin{proposition}[Formula per il versore tangente]
         Sia $\alpha$ una curva regolare. Allora vale:
         \[
-            T_\alpha(t) = \frac{\alpha'(t)}{\norm{\alpha'(t)}},
+            \boxed{T_\alpha(t) = \frac{\alpha'(t)}{\norm{\alpha'(t)}},}
         \]
         ovverosia il versore tangente è dato dalla normalizzazione
         della derivata al tempo $t$.
@@ -409,7 +409,7 @@
     \begin{proposition}[Formula per la curvatura]
         Sia $\alpha$ una curva regolare. Allora vale:
         \[
-            \kappa_\alpha(t) = \frac{\norm{\alpha'(t) \times \alpha''(t)}}{\norm{\alpha'(t)}^3}.
+            \boxed{\kappa_\alpha(t) = \frac{\norm{\alpha'(t) \times \alpha''(t)}}{\norm{\alpha'(t)}^3}.}
         \]
     \end{proposition}
 
@@ -426,7 +426,7 @@
     \begin{proposition}[Formula per il versore binormale]
         Sia $\alpha$ una curva di Frenet. Allora vale:
         \[
-            B_\alpha(t) = \frac{\alpha'(t) \times \alpha''(t)}{\norm{\alpha'(t) \times \alpha''(t)}},
+            \boxed{B_\alpha(t) = \frac{\alpha'(t) \times \alpha''(t)}{\norm{\alpha'(t) \times \alpha''(t)}},}
         \]
         ovverosia il versore binormale è dato dalla normalizzazione
         di $\alpha' \times \alpha''$ al tempo $t$.
@@ -434,7 +434,7 @@
 
     \begin{remark}[Formula per il versore normale]
         Per calcolare $N_\alpha(t)$ si sfrutta la relazione:
-        \[ N_\alpha(t) = B_\alpha(t) \times T_\alpha(t). \]
+        \[ \boxed{N_\alpha(t) = B_\alpha(t) \times T_\alpha(t).} \]
     \end{remark}
 
     \begin{remark}
@@ -455,7 +455,128 @@
     \begin{proposition}[Formula per la torsione]
         Sia $\alpha$ una curva di Frenet. Allora vale:
         \[
-            \tau_\alpha(t) = \frac{(\alpha'(t) \times \alpha''(t)) \cdot \alpha'''(t)}{\norm{\alpha'(t) \times \alpha''(t)}^2}.
+            \boxed{\tau_\alpha(t) = \frac{(\alpha'(t) \times \alpha''(t)) \cdot \alpha'''(t)}{\norm{\alpha'(t) \times \alpha''(t)}^2}.}
         \]
     \end{proposition}
+
+    \section{Proprietà di curvatura e torsione}
+
+    \subsection{Torsione e piano osculatore}
+
+    La torsione rappresenta ``quanto una curva è distante dall'essere un piano''.
+    Più $\tau_\alpha(t)$ si avvicina a $0$ e più la curva $\alpha$ in $0$ è
+    localmente simile a un piano, in particolare il piano osculatore:
+
+    \begin{definition}[Piano osculatore]
+        Sia $\alpha$ una curva di Frenet. Allora si definisce
+        il \textbf{piano osculatore} $\Pi_\alpha(t)$ al tempo $t$ di
+        $\alpha$ come il seguente piano affine:
+        \[ \boxed{\Pi_\alpha(t) \defeq \alpha(t) + \Span(T_\alpha(t), N_\alpha(t)).} \]
+    \end{definition}
+
+    L'intuizione presentata precedentemente è formalizzata dal seguente risultato:
+
+    \begin{proposition}
+        Sia $\alpha$ una curva di Frenet con $\tau_\alpha \equiv 0$. Allora
+        $\Pi_\alpha(t)$ è costante e la traccia di $\alpha$ è contenuta in
+        $\Pi_\alpha$.
+    \end{proposition}
+
+    \begin{proof}
+        Possiamo assumere senza perdita di generalità che $\alpha : I \to \RR^3$ sia p.l.a.
+        Allora da \eqref{eq:frenet_3}, si ricava $\dot{B_\alpha} \equiv 0$,
+        e quindi $B_\alpha$ è costante. Poiché $B_\alpha$ è costante, la normale
+        di $\Pi_\alpha(t)$ è costante. \smallskip
+
+        Osserviamo che $T_\alpha \in B_\alpha^\perp$,
+        da cui $T_\alpha \cdot B_\alpha = \alpha' \cdot B_\alpha = 0$. Ciò, unito al fatto
+        che $I$ è connesso, implica che $\alpha(t) \cdot B_\alpha$ sia costante. Pertanto
+        $(\alpha(t) - \alpha(t_0)) \cdot B_\alpha = 0$ per ogni $t_0$ in $I$ su tutto $I$.
+        Questa è esattamente l'equazione di appartenenza al piano $\Pi_\alpha(t_0)$: si conclude
+        allora che $\Pi_\alpha(t)$ è costante e che la traccia di $\alpha$ è contenuta in
+        $\Pi_\alpha$.
+    \end{proof}
+
+    \subsection{Raggio di curvatura, rette affini e cerchio osculatore}
+
+    La curvatura rappresenta ``quanto una curva è distante dall'essere una retta''.
+    Più $\kappa_\alpha(t)$ si avvicina a $0$ e più la curva $\alpha$ in $0$ è localmente
+    simile a una retta. \smallskip
+
+    I due seguenti risultati formalizzano proprio questa intuizione.
+
+    \begin{proposition}
+        Sia $\alpha$ una curva regolare con $\kappa_\alpha \equiv 0$. Allora
+        $\alpha$ è contenuta in una retta affine. Viceversa, una retta affine
+        si parametrizza con una curva avente curvatura nulla.
+    \end{proposition}
+
+    \begin{proof}
+        Possiamo supporre senza perdita di generalità che $\alpha$ sia p.l.a. Allora
+        $\kappa_\alpha \equiv 0$ implica che $\dot{T_\alpha} \equiv 0$, ovverosia
+        che $T_\alpha$ è costante. Pertanto $\alpha(t) = T_\alpha \cdot t + P$ per un
+        $P \in \RR^3$. \smallskip
+
+        Il viceversa è poi immediato.
+    \end{proof}
+
+    \begin{definition}[Raggio di curvatura]
+        Sia $\alpha$ una curva di Frenet. Allora si definisce il
+        \textbf{raggio di curvatura} $R_\alpha(t)$ al tempo $t$ di $\alpha$
+        come:
+        \[
+            \boxed{R_\alpha(t) \defeq \frac{1}{\kappa_\alpha(t)}.}
+        \]
+    \end{definition}
+
+    \begin{definition}[Cerchio osculatore]
+        Sia $\alpha$ una curva di Frenet. Si definisce il
+        \textbf{cerchio osculatore} $\cc_\alpha(t)$ al tempo $t$ di $\alpha$ come
+        il cerchio di raggio $R_\alpha(t)$ e centro $\alpha(t) + R_\alpha(t) N_\alpha(t)$ contenuto
+        nel piano osculatore $\Pi_\alpha(t)$.
+    \end{definition}
+
+    \begin{proposition}[Il raggio di curvatura è il raggio del cerchio che meglio approssima $\alpha$ in un punto]
+        Sia $\alpha$ una curva p.l.a.~di Frenet. Si ponga:
+        \[
+            f_{P, R}(t) \defeq \norm{\alpha(t) - P}^2 - R^2.
+        \]
+        Consideriamo i cerchi di raggio $P$ e $R$ nel piano $\Pi_\alpha(t_0)$, denotati con $\cc(P, R)$.
+        Si pongano le seguenti condizioni:
+        \begin{itemize}
+            \item $f_{P, R}(t_0) = 0$, ovverosia il cerchio $\cc(P, R)$ passa per $\alpha(t_0)$;
+            \item $f_{P, R}'(t_0) = f_{P, R}''(t_0) = 0$, ovverosia il
+                  cerchio $\cc(P, R)$ approssima $\alpha$ in $t_0$ fino al secondo ordine.
+        \end{itemize}
+        Allora l'unico cerchio $\cc(P, R)$
+        soddisfacente le sopracitate condizioni
+        è il cerchio osculatore $\cc_\alpha(t_0)$ al tempo $t_0$ di $\alpha$.
+    \end{proposition}
+
+    \begin{proof}
+        Osserviamo che:
+        \[ f_{P, R}'(t) = 2 \alpha'(t) \cdot (\alpha(t) - P), \]
+        e quindi $f_{P, R}'(t_0) = 0$ implica $T_{\alpha}(t_0) \perp \alpha(t_0) - P$.
+        Dal momento che il cerchio $\cc(P, R)$ deve essere contenuto nel piano osculatore
+        di $\alpha(t_0)$, allora $\alpha(t_0) - P \parallel N_\alpha(t_0)$. \medskip
+
+        Inoltre:
+        \[ f_{P, R}''(t) = 2 (\alpha''(t) \cdot (\alpha(t) - P) + \norm{\alpha'(s)}^2), \]
+        da cui, ponendo $f_{P, R}''(t_0) = 0$, si ottiene:
+        \[ P = \alpha(t_0) + R_\alpha(t_0) N_\alpha(t_0). \]
+
+        Infine, usando che $f_{P, R}(t_0)$, si conclude che $R = R_\alpha(t_0)$.
+    \end{proof}
+
+    \subsection{Teorema fondamentale della teoria delle curve}
+
+    La curvatura e la torsione delineano essenzialmente un'unica curva:
+
+    \begin{theorem}[fondamentale della teoria delle curve]
+        Due due curve p.l.a.
+        di Frenet $\alpha$, $\hat{\alpha} : I \to \RR^3$ hanno curvatura e torsione
+        coincidente se e solo se la traccia di una curva è ottenibile dall'altra tramite
+        movimento rigido dello spazio \textnormal{(i.e., isometria con
+            parte lineare in $\SO(3)$)}.
+    \end{theorem}
 \end{multicols*}

Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda/sections/2-superfici.tex

@@ -0,0 +1,265 @@
+%--------------------------------------------------------------------
+\chapter{Teoria delle superfici}
+\setlength{\parindent}{2pt}
+
+\begin{multicols*}{2}
+    Qualora non specificato, assumeremo l'utilizzo di funzioni di classe $C^\infty$. \smallskip
+
+    Se $\vec{x}$ è una parametrizzazione regolare o una funzione con dominio un sottinsieme di $\RR^2$,
+    ammettiamo l'abuso di notazione $\vec{x}(P)$ per sottintendere $\vec{x}(\vec{y}\inv(P))$, dove
+    $\vec{y}$ è una parametrizzazione regolare di $P$ sulla superficie studiata.
+
+    \section{Definizioni preliminari}
+
+    \subsection{Parametrizzazioni regolare}
+
+    \begin{definition}[Parametrizzazione regolare]
+        Si dice \textbf{parametrizzazione regolare} una mappa
+        $\vec{x} : U \to \RR^3$ con $U$ aperto di $\RR^3$ tale che:
+        \begin{itemize}
+            \item $\vec{x}$ è iniettiva;
+            \item $\vec{x_u} \times \vec{x_v} \neq 0$ per ogni $(u, v) \in U$ (\textbf{regolarità});
+            \item $\vec{x\inv}$ è continua.
+        \end{itemize}
+    \end{definition}
+
+    \begin{remark}
+        Osserviamo che $J \vec{x} = [\vec{x_u} \;\; \vec{x_v}]$.
+        Allora richiedere la regolarità è equivalente a richiedere che $\rk(J \vec{x})$ sia sempre massimo,
+        ovvero:
+        \[ \rk(J \vec{x}) = 2. \]
+    \end{remark}
+
+    \begin{proposition} \label{prop:parametrizzazione_è_cinf}
+        Ogni parametrizzazione regolare è un diffeomorfismo $C^\infty$.
+    \end{proposition}
+
+    \begin{proof}
+        Sia $\vec{x} : U \to \Sigma$ una parametrizzazione regolare surgettiva su $\Sigma$. Sia $(u_0, v_0) \in U$.
+        Dal momento che $\vec{x}$ è regolare, esiste un minore $2 \times 2$ in $J \vec{x}(u_0, v_0)$ invertibile.
+        Sia $\pi$ la proiezione da $\RR^3$ sul piano $\Span(e_i, e_j) \cong \RR^2$, dove $i$ e $j$ sono gli indici delle
+        righe del minore rispetto a $J \vec{x}(u_0, v_0)$. \smallskip
+
+        Allora $J (\pi \circ \vec{x})(u_0, v_0)$ è invertibile,
+        e per il Teorema di invertibilità locale, $\pi \circ \vec{x}$ è localmente invertibile. Dacché
+        $\vec{x}\inv$ è localmente uguale a $(\pi \circ \vec{x})\inv \circ \pi\inv$, che è composizione di
+        funzioni $C^\infty$, si ricava che $\vec{x}$ è un diffeomorfismo $C^\infty$ locale. Dal momento che
+        $\vec{x}$ è però iniettiva, si ricava che è anche un diffeomorfismo $C^\infty$.
+    \end{proof}
+
+    \subsection{Superficie}
+
+    \begin{definition}[Superficie]
+        Una \textbf{superficie} è un sottinsieme $\Sigma$ di $\RR^3$ tale per cui
+        ogni punto $P$ di $\Sigma$ ammette una parametrizzazione regolare $\vec{x_P}$ la cui immagine
+        sia contenuta in $\Sigma$ e che sia intorno di $P$ in $\Sigma$. Ci riferiremo a
+        $\vec{x_P}$ come a una \textbf{parametrizzazione regolare per $P$}.
+    \end{definition}
+
+    \begin{remark}
+        Chiaramente, se $\vec{x} : U \to \RR^3$ è una parametrizzazione regolare, allora $\vec{x}(U)$ è una
+        superficie.
+    \end{remark}
+
+    \begin{proposition}
+        $\Sigma$ è una superficie se e solo se ogni suo punto ammette una parametrizzazione
+        regolare della forma $\vec{x} : B_\eps(0) \subseteq \RR^2 \to \Sigma$.
+    \end{proposition}
+
+    \begin{proof}
+        Siccome ogni parametrizzazione regolare $\vec{x} : U \to \Sigma$ ha come dominio
+        è un aperto, possiamo restringerci a una palla di raggio $\eps$ di $\vec{x}\inv(P)$.
+        Tramite traslazione possiamo infine riportare $\vec{x}\inv(P)$ al centro,
+        ottenendo una parametrizzazione del tipo desiderato.
+    \end{proof}
+
+    \begin{proposition}
+        Se $\Sigma$ è una superficie, una funzione $f : \Sigma \to \RR^n$ è
+        continua se e solo se $f \circ \vec{x}$ è una funzione continua
+        per ogni parametrizzazione regolare $\vec{x}$ di un punto di $\Sigma$.
+    \end{proposition}
+
+    \begin{proof}
+        Deriva dal fatto che una funzione è continua se e solo se è
+        localmente continua.
+    \end{proof}
+
+    \section{Classi fondamentali di superfici}
+
+    \subsection{Superfici di rotazione}
+    \begin{definition}[Superficie di rotazione]
+        Sia $\alpha : I \to \RR^3$ una curva parametrizzata della forma
+        $(a(t), 0, b(t))$ tale che $\alpha$ è regolare e omeomorfismo locale.
+        Si definisce allora la \textbf{superficie di rotazione} (intorno
+        all'asse $z$) di $\alpha$ come l'immagine della seguente
+        parametrizzazione canonica:
+        \[
+            \vec{x}(u, v) = (a(u) \cos(v), a(u) \sin(v), b(u)).
+        \]
+    \end{definition}
+
+    \begin{definition}[Paralleli e meridiani]
+        Sia $\Sigma$ una superficie di rotazione con parametrizzazione canonica
+        $\vec{x}$. Allora l'immagine della curva $\alpha_{u_0}(t) = \vec{x}(u_0, t)$
+        è detta \textbf{parallelo}, mentre quella della curva
+        $\gamma_{v_0}(t) = \vec{x}(t, v_0)$ è detta \textbf{meridiano}. \smallskip
+
+        I paralleli sono dunque le intersezioni della superficie con i piani della
+        forma $\{z = k\}$, mentre i meridiani lo sono rispetto ai piani della
+        forma $\{ ax + by = 0 \}$.
+    \end{definition}
+
+    \begin{proposition}
+        Una superficie di rotazione è effettivamente una superficie, poiché
+        la sua parametrizzazione canonica è regolare.
+    \end{proposition}
+
+    \subsection{Grafici, valori regolari e superfici di livello}
+    \begin{proposition}[Il grafico di una funzione $C^\infty$ a valori reali con dominio $U \subseteq \RR^2$ è una superficie] \label{prop:grafici_sono_superfici}
+        Il grafico $\Gamma_f$ di una funzione $f : U \to \RR$ con $U \subseteq \RR^2$ è
+        parametrizzato come $\vec{x}(u, v) = (u, v, f(u, v))$, ed è dunque una superficie.
+    \end{proposition}
+
+    \begin{definition}
+        Sia $f : A \to \RR$ con $A \subseteq \RR^3$ una funzione liscia. Allora si dice che
+        $a \in f(A)$ è un \textbf{valore regolare} per $f$ se:
+        \[
+            \nabla f(p) \neq 0, \quad \forall p \in f\inv(a).
+        \]
+    \end{definition}
+
+    \begin{proposition}
+        Sia $f : A \to \RR$ con $A \subseteq \RR^3$ una funzione liscia. Allora, se
+        $a$ è un valore regolare per $f$, $f\inv(a)$ è una superficie ed è detta
+        \textbf{superficie di livello $a$ rispetto a $f$}.
+    \end{proposition}
+
+    \begin{proof}
+        La tesi discende direttamente come applicazione del Teorema della funzione
+        implicita. Infatti, se $a$ è un valore regolare, $f\inv(a)$ è localmente
+        un grafico su ogni suo punto. Allora, per la Proposizione \ref{prop:grafici_sono_superfici},
+        $f\inv(a)$ è una superficie.
+    \end{proof}
+
+    \section{Piano tangente e orientabilità}
+
+    \subsection{Piano tangente e compatibilità tra parametrizzazioni regolari diverse}
+
+    \begin{definition}[Funzione di transizione]
+        Siano $\vec{x}$, $\vec{y} : U, U' \to \RR^3$ due parametrizzazioni regolari per $P$
+        su una superficie $\Sigma$ aventi stessa immagine. Si definisce allora la
+        \textbf{funzione di transizione} $f_{\vec{x}, \vec{y}} : U \to U'$ da $\vec{x}$ a $\vec{y}$ come:
+        \[
+            \boxed{f_{\vec{x}, \vec{y}} \defeq \vec{y}\inv \circ \vec{x},}
+        \]
+        in modo tale che il seguente diagramma commuti:
+        \[\begin{tikzcd}
+                & \Sigma \\
+                \\
+                U && {U'}
+                \arrow["{\vec{x}}"', from=3-1, to=1-2]
+                \arrow["f_{\vec{x}, \vec{y}}", from=3-1, to=3-3]
+                \arrow["{\vec{y}}", from=3-3, to=1-2]
+            \end{tikzcd}\]
+    \end{definition}
+
+    \begin{proposition}
+        Una funzione di transizione $f_{\vec{x}, \vec{y}}$ è
+        un diffeomorfismo $C^\infty$.
+    \end{proposition}
+
+    \begin{proof}
+        Dal momento che $\vec{x}$ e $\vec{y}$ sono diffeomorfismi $C^\infty$ per
+        la Proposizione \ref{prop:parametrizzazione_è_cinf}, essendo
+        $f$ composizione di variazioni di queste, anche $f$ lo è.
+    \end{proof}
+
+    \begin{proposition} \label{prop:stesso_piano_tangente_param_regolari}
+        Siano $\vec{x}$ e $\vec{y}$ due parametrizzazioni regolari per $P$ su una
+        superficie $\Sigma$. Allora vale:
+        \[ \Span(\vec{x_u}(P), \vec{x_v}(P)) = \Span(\vec{y_u}(P), \vec{y_v}(P)). \]
+    \end{proposition}
+
+    \begin{proof}
+        Possiamo assumere senza perdita di generalità che le immagini di $\vec{x}$ e $\vec{y}$ (basta
+        prendere l'intersezione delle immagini). \smallskip
+
+        Posto allora $f_{\vec{x}, \vec{y}}(s, t) = (u(s, t), v(s, t))$,
+        vale $\vec{x}(s, t) = \vec{y}(u(s, t), v(s, t))$, e quindi:
+        \[
+            \begin{cases}
+                \vec{x_s}(P) = u_s(P) \cdot \vec{y_u}(P) + v_s(P) \cdot \vec{y_t}(P), \\
+                \vec{x_t}(P) = u_t(P) \cdot \vec{y_u}(P) + v_t(P) \cdot \vec{y_t}(P).
+            \end{cases}
+        \]
+
+        Dal momento che $J f_{\vec{x}, \vec{y}}(P)$ ha rango $2$, allora
+        il precedente sistema induce un cambio di base da $\{\vec{x_u}(P), \vec{x_v}(P)\}$
+        a $\{\vec{y_u}(P), \vec{y_v}(P)\}$, da cui la tesi.
+    \end{proof}
+
+    \begin{definition}[Piano tangente]
+        Sia $\Sigma$ una superficie. Allora, se $P$ è un punto di $\Sigma$, si definisce
+        il \textbf{piano tangente $T_P \Sigma$ di $P$ rispetto a $\Sigma$} come:
+        \[
+            \boxed{T_P \Sigma \defeq \Span(\vec{x_u}(P), \vec{x_v}(P)),}
+        \]
+        dove $\vec{x}$ è una qualsiasi parametrizzazione regolare di $P$.
+    \end{definition}
+
+    \subsection{Versori normali e orientabilità}
+
+    \begin{definition}[Versore normale su $\vec{x}$]
+        Sia $\vec{x}$ una parametrizzazione regolare di un punto $P$ su
+        una superficie $\Sigma$. Definiamo il \textbf{versore normale}
+        $n_\vec{x}(P)$ come:
+        \[ \boxed{n_\vec{x}(P) \defeq \frac{\vec{x_u} \times \vec{x_v}}{\norm{\vec{x_u} \times \vec{x_v}}}.} \]
+    \end{definition}
+
+    \begin{proposition}
+        Due parametrizzazioni regolari $\vec{x}$, $\vec{y} : U, U' \to \Sigma$
+        con stessa immagine hanno stessa normale in ogni punto se e solo se
+        la funzione di transizione ha in ogni punto jacobiano di determinante
+        positivo.
+    \end{proposition}
+
+    \begin{proof}
+        Segue dal sistema trovato nella dimostrazione della Proposizione
+        \ref{prop:stesso_piano_tangente_param_regolari}.
+    \end{proof}
+
+    \begin{definition}[Parametrizzazioni regolari compatibili]
+        Due parametrizzazioni regolari $\vec{x}$, $\vec{y} : U, U' \to \Sigma$
+        si dicono \textbf{compatibili} se l'intersezione delle immagini è vuota o
+        se hanno stessa normale sull'intersezione delle immagini.
+    \end{definition}
+
+    \begin{definition}[Superficie orientabile]
+        Una superficie $\Sigma$ si dice \textbf{orientabile} se è ricoperta
+        da parametrizzazioni regolari a due a due compatibili.
+    \end{definition}
+
+    \begin{proposition} \label{prop:normale_continua}
+        Una superficie $\Sigma$ è orientabile se e solo se esiste una
+        funzione continua $\vec{n} : \Sigma \to \RR^3$ tale per cui
+        $\vec{n}(P)$ sia unitario e perpendicolare a $T_P \Sigma$ per
+        ogni punto $P$ di $\Sigma$.
+    \end{proposition}
+
+    %TODO: breve dimostrazione
+
+    \begin{corollary}
+        Ogni superficie $\Sigma$ di livello $\ell$ rispetto a $f$, per $f$ liscia e $\ell$ regolare, è orientabile.
+    \end{corollary}
+
+    \begin{proof}
+        Il gradiente $\nicefrac{\nabla f}{\norm{\nabla f}}$ è un campo vettoriale unitario e
+        ortogonale a $T_P \Sigma$ per ogni punto $P$. Si conclude per la Proposizione \ref{prop:normale_continua}.
+    \end{proof}
+
+    \begin{warn}
+        Ogni superficie è localmente orientabile! \\[0.5em]
+        È sufficiente prendere per ogni
+        punto come ricoprimento la sua stessa parametrizzazione regolare.
+    \end{warn}
+\end{multicols*}

Corsi/Istituzioni di geometria/Esercizi/commands.tex

@@ -0,0 +1,74 @@
+\newcommand{\eu}{\mathrm{e}}
+\newcommand{\im}{\mathrm{i}}
+
+\newcommand{\degree}{\,^{\circ}}
+
+\newcommand{\transpose}[1]{{#1}^{\mathsf{T}}}
+
+\newcommand{\Int}{\int\limits_{-\infty}^{\infty}}
+
+\newcommand{\rint}[2]{\int{#1}\dd{#2}}
+
+\newcommand{\Rint}[4]{\int\limits_{#1}^{#2}{#3}\dd{#4}}
+
+\newcommand{\HH}{\mathbb{H}}
+\DeclareMathOperator{\ot}{ot}
+\DeclareMathOperator{\cof}{cof}
+\DeclareMathOperator{\TC}{TC}
+\newcommand{\ORD}{\text{ORD}}
+
+\makeatletter
+\newcommand*\bigcdot{\mathpalette\bigcdot@{.5}}
+\newcommand*\bigcdot@[2]{\mathbin{\vcenter{\hbox{\scalebox{#2}{$\m@th#1\bullet$}}}}}
+\makeatother
+
+\newcommand{\Ham}{\hat{\mathcal{H}}}
+
+\renewcommand{\Tr}{\mathrm{Tr}}
+
+\newcommand{\christoffelsecond}[4]{\dfrac{1}{2}g^{#3 #4}(\partial_{#1} g_{#2 #4} + \partial_{#2} g_{#1 #4} - \partial_{#4} g_{#1 #2})}
+
+\newcommand{\riemanncurvature}[5]{\partial_{#3} \Gamma_{#4 #2}^{#1} - \partial_{#4} \Gamma_{#3 #2}^{#1} + \Gamma_{#3 #5}^{#1} \Gamma_{#4 #2}^{#5} - \Gamma_{#4 #5}^{#1} \Gamma_{#3 #2}^{#5}}
+
+\newcommand{\covariantriemanncurvature}[5]{g_{#1 #5} R^{#5}{}_{#2 #3 #4}}
+
+\newcommand{\riccitensor}[5]{g_{#1 #5} R^{#5}{}_{#2 #3 #4}}
+
+\renewcommand{\emptyset}{\varnothing}
+
+\DeclareMathOperator{\dom}{dom}
+\DeclareMathOperator{\imm}{imm}
+\newcommand{\rel}{\mathcal{R}}
+\newcommand{\FF}{\mathcal{F}}
+\newcommand{\bigtimes}{\varprod}
+\DeclareMathOperator{\Fun}{Fun}
+\DeclareMathOperator{\id}{id}
+\newcommand{\PP}{\mathbb{P}}
+
+\newcommand{\NN}{\mathbb{N}}
+\newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}}
+\newcommand{\QQ}{\mathbb{Q}}
+\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}
+\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}
+\newcommand{\UU}{\mathbb{V}}
+\newcommand{\VV}{\mathbb{V}}
+
+\newcommand{\se}{\text{se }}
+\newcommand{\altrimenti}{\text{altrimenti}}
+\newcommand{\inv}{^{-1}}
+
+\newcommand{\AC}{$\mathsf{AC}$}
+\newcommand{\PA}{$\mathsf{PA}$}
+\newcommand{\cc}{\mathfrak{c}}
+\DeclareMathOperator{\Fin}{Fin}
+\newcommand{\PPFin}{\PP^{\mathsf{fin}}}
+\DeclareMathOperator{\FSeq}{FSeq}
+\DeclareMathOperator{\bige}{Big}
+\DeclareMathOperator{\Sym}{\mathfrak{S}}
+
+\newcommand{\OO}{\mathfrak{O}}
+\newcommand{\basis}{\mathcal{B}}
+
+\newcommand{\restr}[2]{
+	#1\arrowvert_{#2}
+}

Corsi/Istituzioni di geometria/Esercizi/format.tex

@@ -0,0 +1,46 @@
+\usepackage{titlesec}
+\usepackage[many]{tcolorbox}
+\usepackage{environ}
+
+\titlespacing*{\chapter}{0cm}{-2.0cm}{0.50cm}
+\titlespacing*{\section}{0cm}{0.50cm}{0.25cm}
+
+\setlength{\parindent}{0pt}
+\setlength{\parskip}{1ex}
+
+\newtcbtheorem[list inside={prob}]{problem}{Problema}%
+    {enhanced,
+    colback = black!5, %white,
+    colbacktitle = black!5,
+    coltitle = black,
+    boxrule = 0pt,
+    frame hidden,
+    borderline west = {0.5mm}{0.0mm}{black},
+    fonttitle = \bfseries\sffamily,
+    breakable,
+    before skip = 3ex,
+    after skip = 3ex,
+    boxsep = 2mm
+}{problem}
+
+\newenvironment{solution}
+  {\let\qed\relax\begin{proof}[Soluzione]}
+  {\end{proof}}
+
+\newenvironment{altsolution}
+  {\let\qed\relax\begin{proof}[Soluzione alternativa]}
+  {\end{proof}}
+
+\newif\ifhideproofs
+% \hideproofstrue
+
+\ifhideproofs
+  \usepackage{environ}
+  \NewEnviron{hide}{}
+  \let\solution\hide
+  \let\endsolution\endhide
+  \let\altsolution\hide
+  \let\endaltsolution\endhide
+\fi
+
+\tcbuselibrary{skins, breakable}

Corsi/Istituzioni di geometria/Esercizi/main.tex

@@ -0,0 +1,158 @@
+\documentclass[letterpaper, 11pt]{extarticle}
+
+\input{preamble}
+\input{format}
+\input{commands}
+
+\usepackage{thmtools}
+\usepackage{tasks}
+\usepackage{setspace}
+
+\begin{document}
+
+\begin{LARGE}
+    \textsf{\textbf{Esercizi di Istituzioni di Geometria}}
+\end{LARGE}
+
+\vspace{0.2ex}
+
+\begin{Large}
+    \textsf{\textbf{Anno accademico 2025-26}}
+\end{Large}
+
+\vspace{1.5ex}
+
+\begin{large}
+    \textsf{\textbf{Studente:}} \text{Gabriel Antonio Videtta (matricola \texttt{654839})} --  \href{mailto:g.videtta1@studenti.unipi.it}{\texttt{g.videtta1@studenti.unipi.it}}
+\end{large}
+
+\vspace{-0.5ex}
+
+\tcblistof[\section*]{prob}{Indice dei problemi}
+
+\vspace{1ex}
+
+\linespread{1.3}
+
+\begin{problem}{Atlanti non compatibili su \texorpdfstring{$\RR$}{ℝ} -- esercizio 1.1}{problem-1}
+Costruisci due atlanti lisci non compatibili su $\RR$.
+Mostra che le due varietà lisce che ne risultano sono però diffeomorfe.
+
+
+(Nota: Per teoremi profondi, due strutture lisce sulla stessa varietà topologica
+di dimensione $n \leq 3$ sono sempre diffeomorfe. Questo fatto spesso non
+è vero in dimensione $n \geq 4$.)
+\end{problem}
+
+\begin{solution}
+    Siano $\varphi$, $\psi : \RR \to \RR$ le funzioni continue
+    tali per cui $\varphi(x) = x^3$ e $\psi(x) = \sqrt[3]{x}$.
+    Allora $\varphi$ è un omeomorfismo con inversa $\psi$, che però \underline{non} è diffeomorfismo liscio su (infatti $0$ \underline{non} è
+    regolare, dacché $\varphi'(0) = 3 \cdot 0^2 = 0 \notin \RR^*$). \smallskip
+
+    Considerando allora come atlanti $\mathcal{A} = \{ \id : \RR \to \RR \}$ e $\mathcal{A}' = \{ \varphi \}$, questi
+    atlanti \underline{non} sono compatibili dal momento che la funzione di transizione $\id \circ \varphi = \varphi$ \underline{non}
+    è liscia. \smallskip
+
+    Tuttavia, $(\RR, \mathcal{A'})$ è diffeomorfo a $(\RR, \mathcal{A})$ tramite la mappa $\phi$, che in carte è
+    letta come l'identità $\id$.
+
+    \[\begin{tikzcd}
+            {(\RR, \mathcal{A}')} && {(\RR, \mathcal{A})} \\
+            \\
+            \RR && \RR
+            \arrow["\varphi", from=1-1, to=1-3]
+            \arrow["\varphi"{description}, from=1-1, to=3-1]
+            \arrow["\id"{description}, from=1-3, to=3-3]
+            \arrow["\psi"{description}, shift left=3, curve={height=-12pt}, from=3-1, to=1-1]
+            \arrow["\id", from=3-1, to=3-3]
+        \end{tikzcd}\]
+\end{solution}
+
+\begin{problem}{$\varphi : U \subseteq M \to \RR^n$ carta se e solo se diffeomorfismo -- esercizio 1.2}{problem-2}
+Sia $U \subseteq M$ un aperto in una varietà liscia $M$. Mostra che un
+omeomorfismo $\varphi : U \to \RR^n$ è una carta compatibile con la struttura liscia di
+$M$ se e solo se è un diffeomorfismo.
+\end{problem}
+
+\begin{solution}
+    Dimostriamo separatamente le due implicazioni.
+
+    \begin{itemize}
+        \item[$\boxed{\implies}$] Leggendo $\varphi$ in ogni punto di $U$ tramite le carte $\varphi$ per $U$ e $\id$ per $\RR$, otteniamo proprio l'identità, e quindi $\varphi$
+              è banalmente un diffeomorfismo.
+
+              \[\begin{tikzcd}
+                      U && {\RR^n} \\
+                      \\
+                      {\RR^n} && {\RR^n}
+                      \arrow["\varphi", from=1-1, to=1-3]
+                      \arrow["\varphi"', from=1-1, to=3-1]
+                      \arrow["\id", from=1-3, to=3-3]
+                      \arrow["\id"', from=3-1, to=3-3]
+                  \end{tikzcd}\]
+
+        \item[$\boxed{\impliedby}$] Sia $\psi : V \to Z \subseteq \RR^n$ una carta dell'atlante massimale di $M$ con $U \cap V \neq \emptyset$ e mostriamo che $\varphi$
+              e $\psi$ sono compatibili mostrando che la funzione di transizione $[\psi \to \varphi]$ è un diffeomorfismo. \smallskip
+
+              Essendo diffeomorfismo, $\phi$ si legge tramite le carte $\psi$ per $U \cap V$ e $\id$ per $\varphi(U \cap V)$ proprio come la funzione
+              di transizione $[\psi \to \varphi]$, che quindi è diffeomorfismo in quanto uguale a
+              $\restr{\id}{\varphi(U \cap V)} \circ \restr{\varphi}{U \cap V} \circ \restr{\psi\inv}{\psi(U \cap V)}$, composizione di diffeomorfismi.
+
+              \[\begin{tikzcd}
+                      {U \cap V} && {\varphi(U \cap V)} \\
+                      \\
+                      {\psi(U \cap V)} && {\varphi(U \cap V)}
+                      \arrow["\varphi", from=1-1, to=1-3]
+                      \arrow["\psi"', from=1-1, to=3-1]
+                      \arrow["\id", from=1-3, to=3-3]
+                      \arrow["{[\psi \to \varphi]}"', from=3-1, to=3-3]
+                  \end{tikzcd}\]
+    \end{itemize}
+\end{solution}
+
+\begin{problem}{$S^2$ è diffeomorfo a $\CC \PP^1$-- esercizio 1.4}{problem-3}
+Mostra che la funzione costruita a lezione $S^2 \to \CC \PP^1$ è un diffeomorfismo.
+\end{problem}
+
+\begin{solution}
+    Ricordiamo che la funzione costruita era $\gamma : S^2 \to \CC \PP^1$ per cui, posto
+    $N = (0, 0, 1)$, vale:
+    \[
+        \gamma(P) = \begin{cases}
+            [1, 0]        & \se P = N,   \\
+            [\pi_N(P), 1] & \altrimenti,
+        \end{cases}
+    \]
+    dove $\pi_N : S^2 \setminus \{N\} \to \CC$ è la proiezione stereografica da $S^2 \setminus \{N\}$
+    a $\CC$ (identificato come $\RR^2$). \smallskip
+
+    Sia $U_i = \{ [z_0, z_1] \mid z_i \neq 0 \} \subseteq \CC \PP^1$ e $\varphi_i : U_i \to \CC \cong \RR^2$ la carta
+    affine con $\varphi_0([z_0, z_1]) = \nicefrac{z_1}{z_0}$ e $\varphi_1([z_0, z_1]) = \nicefrac{z_0}{z_1}$. Sia
+    $S = (0, 0, -1)$ il punto diametralmente opposto a $N$ su $S^2$. \smallskip
+
+    Se $P \in S^2 \setminus \{N\}$, possiamo leggere in carte $\gamma$ come l'identità $\id : \CC \to \CC$ (che è diffeomorfismo) come segue:
+    \[\begin{tikzcd}
+            {S^2 \setminus \{N\} \ni P} && {U_1 \subseteq \CC \PP^1} \\
+            \\
+            {\CC \cong \RR^2} && {\CC \cong \RR^2}
+            \arrow["\gamma", from=1-1, to=1-3]
+            \arrow["{\pi_N}"{description}, from=1-1, to=3-1]
+            \arrow["{\varphi_1}"{description}, from=1-3, to=3-3]
+            \arrow["\id", from=3-1, to=3-3]
+        \end{tikzcd}\]
+
+    Se invece $P = N$, possiamo leggere in carte $\gamma$ come il complesso coniugato $z \mapsto \overline{z}$ (che è diffeomorfismo) come segue:
+    \[\begin{tikzcd}
+            {S^2 \setminus \{S\} \ni N} && {U_0 \subseteq \CC \PP^1} \\
+            \\
+            {\CC \cong \RR^2} && {\CC \cong \RR^2}
+            \arrow["\gamma", from=1-1, to=1-3]
+            \arrow["{\pi_S}"{description}, from=1-1, to=3-1]
+            \arrow["{\varphi_0}"{description}, from=1-3, to=3-3]
+            \arrow["{\overline{z}}", from=3-1, to=3-3]
+        \end{tikzcd}\]
+    dove si è usato che $\pi_N \circ \pi_S\inv$ corrisponde a $\nicefrac{1}{\overline{z}}$.
+\end{solution}
+
+\end{document}

Corsi/Istituzioni di geometria/Esercizi/preamble.tex

@@ -0,0 +1,62 @@
+% \usepackage{fontspec}
+
+% ==================================================
+
+\usepackage[italian]{babel}
+\usepackage[margin = 1in]{geometry}
+
+% ==================================================
+
+\usepackage{mathrsfs}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amsthm}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{physics}
+\usepackage{dsfont}
+\usepackage{esint}
+\usepackage{marvosym}
+\usepackage{kpfonts}
+\usepackage{quiver}
+\usepackage{nicefrac}
+
+% ==================================================
+
+\usepackage{enumerate}
+\usepackage[shortlabels, inline]{enumitem}
+\usepackage{framed}
+\usepackage{csquotes}
+
+% ==================================================
+
+\usepackage{float}
+\usepackage{tabularx}
+\usepackage{xcolor}
+\usepackage{multicol}
+\usepackage{subcaption}
+\usepackage{caption}
+\captionsetup{format = hang, margin = 10pt, font = small, labelfont = bf}
+
+\usepackage[round, authoryear]{natbib}
+
+\usepackage{hyperref}
+\definecolor{links}{rgb}{0.36,0.54,0.66}
+\hypersetup{
+   colorlinks = true,
+   linkcolor = black,
+   urlcolor = blue,
+   citecolor = blue,
+   filecolor = blue,
+   pdfauthor = {Author},
+   pdftitle = {Title},
+   pdfsubject = {subject},
+   pdfkeywords = {one, two},
+   pdfproducer = {LaTeX},
+   pdfcreator = {pdfLaTeX},
+}
+
+\usepackage{lmodern}
+\renewcommand{\familydefault}{\sfdefault}
+
+\usepackage{sfmath}
+\usepackage{hyperref}

Corsi/Istituzioni di geometria/Esercizi/quiver.sty

@@ -0,0 +1,40 @@
+% *** quiver ***
+% A package for drawing commutative diagrams exported from https://q.uiver.app.
+%
+% This package is currently a wrapper around the `tikz-cd` package, importing necessary TikZ
+% libraries, and defining a new TikZ style for curves of a fixed height.
+%
+% Version: 1.5.2
+% Authors:
+% - varkor (https://github.com/varkor)
+% - AndréC (https://tex.stackexchange.com/users/138900/andr%C3%A9c)
+
+\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}
+\ProvidesPackage{quiver}[2021/01/11 quiver]
+
+% `tikz-cd` is necessary to draw commutative diagrams.
+\RequirePackage{tikz-cd}
+% `amssymb` is necessary for `\lrcorner` and `\ulcorner`.
+\RequirePackage{amssymb}
+% `calc` is necessary to draw curved arrows.
+\usetikzlibrary{calc}
+% `pathmorphing` is necessary to draw squiggly arrows.
+\usetikzlibrary{decorations.pathmorphing}
+
+% A TikZ style for curved arrows of a fixed height, due to AndréC.
+\tikzset{curve/.style={settings={#1},to path={(\tikztostart)
+    .. controls ($(\tikztostart)!\pv{pos}!(\tikztotarget)!\pv{height}!270:(\tikztotarget)$)
+    and ($(\tikztostart)!1-\pv{pos}!(\tikztotarget)!\pv{height}!270:(\tikztotarget)$)
+    .. (\tikztotarget)\tikztonodes}},
+    settings/.code={\tikzset{quiver/.cd,#1}
+        \def\pv##1{\pgfkeysvalueof{/tikz/quiver/##1}}},
+    quiver/.cd,pos/.initial=0.35,height/.initial=0}
+
+% TikZ arrowhead/tail styles.
+\tikzset{tail reversed/.code={\pgfsetarrowsstart{tikzcd to}}}
+\tikzset{2tail/.code={\pgfsetarrowsstart{Implies[reversed]}}}
+\tikzset{2tail reversed/.code={\pgfsetarrowsstart{Implies}}}
+% TikZ arrow styles.
+\tikzset{no body/.style={/tikz/dash pattern=on 0 off 1mm}}
+
+\endinput

Corsi/Istituzioni di geometria/README.md

@@ -0,0 +1,5 @@
+# [Istituzioni di geometria](https://unipi.coursecatalogue.cineca.it/corsi/2024/10455/insegnamenti/2025/52843_694881_77459/2015/52843?coorte=2024&schemaid=9153)
+
+- [Programma del corso 📘](https://unipi.coursecatalogue.cineca.it/corsi/2024/10455/insegnamenti/2025/52843_694881_77459/2015/52843?coorte=2024&schemaid=9153)
+- [Registro del corso 📑](https://unimap.unipi.it/registri/dettregistriNEW.php?re=11082629::::&ri=80361)
+- [Pagina web del corso 🌐](https://people.dm.unipi.it/martelli/didattica/matematica/2026/ist_geo.html)